Cluege Köpfe - Wissenswertes #1

[Jinjukei]

Du Null !
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Den Artikel verdanke ich diesem Thread. Hab mir einfach mal gedacht, das hier ein bisschen ausführlicher hinzuschreiben, will es aber auch nicht zu lang treiben ... auch wenn man hier mit Sicherheit 100 Seiten schreiben könnte :/ ...

Es geht um die Zahl 0 und ihre Eigenschaften in der Mathematik. Alles hat ein Anfang (oder auch nicht ) und die Null fängt, wie bei sovielen Dingen in der Mathematik, bei einer Definition, einem Axiom, an.
Mathematik ist so logisch aufgebaut, dass sie so vielen Sachen helfen kann, wie es geht; eine Hilfswissenschaft eben. Und deswegen wurde die Null auch so definiert.

Mathe baut auf den Körperaxiomen (K0) auf, die die Addition und die Multiplikation definieren.
Addition:
Es gibt ein Körperaxiom bei der Addition, dass ein neutrales Element definiert, welches zu einem reellen Element dazu addiert werden kann, sodass genau dieses reelle Element wieder "rauskommt".

• x + neutrales Element = x (nennen wir es mal die Null )

Es gibt aber nur genau EIN solches neutrales Element der Addition:
Sagen wir es gibt noch ein anderes neutrales Element, welches nicht das gleiche ist, wie zB. Ô. Dann wäre ja 0 + Ô = 0 und Ô + 0 = Ô. Mit dem Kommutativitätsgesetz (auch ein Axiom A2) wäre dann aber Ô=0, dass ist aber ein Widerspruch zum ersten Satz.

Multiplikation:
In der Multiplikation gibt es eigendlich keine Null. Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation: Die Eins. Eine Null gibt es jedoch nicht. Es existiert ein Distributivgesetz, das ein Zusammenspiel von den Axiomen der Addition und den Axiomen der Multiplikation ermöglicht. Und durch dieses ergeben sich Folgerungen, wie zum Beispiel:
0*x=0 (Wer den Beweis will: Sagen )
Dh. die Null ist bei der Multiplikation (Axiomen) nicht definiert!

Potenzen:
Definition:
Wenn a ein reelles Element ist, dann gilt: a^0:=1 (:= heisst, die linke Seite ist nach dem definiert, was auf der rechten ist)



So jetzt zum Thread-Problem:
Darf man eine reelle Zahl durch Null teilen? Was ist 0^0?

Ich will hier kein bisschen weitausholen, denn man könnte hier ziemlich weit gehen, und nur eine recht gute Erklärung posten:

Null ist das neutrale Element der Addition und es ist nicht in der Multiplikation definiert, das heisst, dass man nicht durch Null teilen kann. (Nicht definiert in der Multiplikation)
Und aus was Falschem kann man folgern was man will ...
Man kann aber rekursive Ansätze machen und das was im Nenner steht gegen Null laufen lassen (zB. 1/x mit x->oo), sodass es nacher gegen Unendlich läuft ...
siehe wieder mal Mengenlehre Thread ^^

0^0 ist so wie es hier steht unklar. Lässt man aber bei x^x x gegen Null laufen, kommt Eins raus ... dies ist oft nützlich. Aber wie gesagt, bei 0^0 gibt es viele "Theorien".

ZB:
0^0=e^(0*ln(0)) und ln(0) existiert nicht. Und der Logarithmus ist auch nicht auf diesem Problem aufgebaut.
Edit: Diese Behauptung ist sehr waage hab ich festgestellt oO

Schaut euch mal "Zwilling der Unendlichkeit" von Charles Seife an, aber last euch auch nicht gleich überzeugen

Lest euch hier in dem Thread weiter durch, hab noch ein paar Links dort gepostet etc ...