[Mathe] Maximalvolumen Berechnen

[TheBiber]

Und ich denke mal bei einem geschlossenem Intervall müsste man auch die Randbereiche überprüfen?

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Theoretisch müsste man, in der Praxis entfällt dies aber je nach Anwendung. Bei der Schachtel würde man am Rand gar kein Volumen mehr erhalten, weshalb man diese Überlegung vernachlässigen kann. Und wenn, hätte man sowieso nur lokale Minima, nach denen hier nicht gesucht ist. Andererseits kann man mit Randüberlegungen auch entscheiden, ob x1 oder x2 die Lösung ist ohne die zweite Ableitung zu berechnen. Setzt man nämlich x1 = 18.245 ein, würde man beispielsweise eine negative Breite erhalten, was hier schlicht keinen Sinn machen würde.

Allerdings kann ich deine Frage nicht ganz mit meinem Zitat in Einklang bringen. Falls es um die Exaktheit geht: Bei einem beidseitig offenen Intervall ist der Extrempunkt einer quadratischen Funktion der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel.

[Zelretch]

Allerdings kann ich deine Frage nicht ganz mit meinem Zitat in Einklang bringen. Falls es um die Exaktheit geht: Bei einem beidseitig offenen Intervall ist der Extrempunkt einer quadratischen Funktion der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel.

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Ja, mir gieng es nur daum dass Extrempunkte nicht zwingend das Maximum sind. Eigentlich hat das Zitat überhaupt nichts damit zu tun, ich muss wohl beim Tippen an irgendetwas anderes gedacht haben.

[TheBiber]

Nicht zwingend, das stimmt. Extrempunkte sind entweder lokale Maxima oder lokale Minima. Wenn mans noch genauer nimmt, sind Punkte, deren erste Ableitung gleich null ist, nicht mal zwingend Extrempunkte, sondern erstmal nur kritische Punkte, da Sattelpunkte ebenfalls nicht ausgeschlossen sind und diese sind gemäss Definition keine Extrempunkte.

[Hero of Happiness]

Ich merke grade, mein größtes Problem ist wirklich immer auf 'ne quadratische Gleichung zu kommen. Ich hab mich jetzt an folgender Aufgabe vom Übungsblatt versucht:

"Aus 1200 cm² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden. Welche Maßer r und h erhält der Zylinder?" (r ist wohl der radius, h die höhe)

Ich würde so anfangen:

V = PI * r² * h (Das ist die Formel fürs volumen von einem Zylinder, oder?)

1200 cm² müsste ja dann der Flächerinhalt sein, also:

1200 cm² = (PI * r²) + (2 * PI * r * h) (Gehören die Klammern hier eigentlich drum?)

Ausklammern kann ich jetzt ja nicht, sa müsste ja ein Multiplikationszeichen zwischenstehen, oder? Meine grundsätzliche Idee wäre nach irgendwas aufzulösen, und dann einzusetzen um so überflüssige Variablen vorerst zu eliminieren, und dann Schritt für Schritt alle auszurechnen um auf meine quadratische gleichung zu kommen, und normal wie bei der Kurvendiskussion den Extremwert auszurechnen. Mal wieder weiß ich aber nicht wirklich wie ich weitermachen soll.

Wär' toll wenn nochmal jemand helfen könnte ._.

Gruß

[Dhan]

Probier doch einfach ma, die zweite Gleichung nach h aufzulösen und in die erste einzusetzen.
Müsste was vom Grad 4 rauskommen (das du prima nach Extremstellen untersuchen kannst)

Das Ergebnis müsste sein, dass der Radius so in etwa 4,6 cm beträgt, jedenfalls nach meinem Überschlag, zum Vergleichen (hab mir aber nicht wirklich viel Zeit genommen ^^)

[TheBiber]

Ich merke grade, mein größtes Problem ist wirklich immer auf 'ne quadratische Gleichung zu kommen.

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Die Gleichung muss nicht zwingend quadratisch sein. Denn darum gehts hier nicht unbedingt.

Wär' toll wenn nochmal jemand helfen könnte ._.

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Grundsätzlich: Wenn du mehrere Gleichungen hast, deren Unbekannten voneinander abhängen, dann versuche eine Unbekannte, die du vorerst nicht benötigst, zu eliminieren, indem du eine Gleichung nach dieser auflöst und dessen Ausdruck du in der anderen Gleichung einsetzt.

In diesem Fall hast du zwei Gleichungen und zwei Unbekannte. Mit genanntem Verfahren lässt sich dieses System auf eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten reduzieren. Also eine der Gleichungen nach einer Unbekannten, konkret r oder h auflösen und diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen. Am besten eliminerst du die zweite Gleichung, da du ja das Volumen maximieren willst.

[Hero of Happiness]

So, nach ewigem gefriemele hab ichs jetzt hinbekommen. Danke nochmal für die hilfestellungen. Ich hoffe ja mal die Aufgaben in der Klausur werden einfacherer, immerhin sind wir ein Grundkurs, und das war angeblich ein LK Arbeitsblatt ._.