Welchen Explorer? Ich verwende gar keinen Explorer, da ich OS X und nicht Windows benutze. Mein Browser ist Safari.
Wo genau die Aktivitätsanzeige beim Internet Explorer oder anderen Browsern unter Windows ist, kann ich Dir nicht sagen. Aber vermutlich wirst Du sie unter Fenster > Aktivitäten oder Ansicht > Aktivitäten oder so finden. Such einfach mal ein wenig in den Menüs, da ist das Ding irgendwo versteckt. Eventuell weiß jemand anders auch genau, wo Du gucken mußt.

Die Aktivitätsanzeige ist im Grund eine Auflistung aller Inhalte einer Seite. Also jedem Bild, jedem eingebundenen Code und so weiter. Damit kannst Du sehen, was eine Seite alles lädt, wenn sie lädt. YouTube-Videos sind nichts weiter als Flash-Inhalte (in diesem Fall eingebettete .flv-Dateien, Flash Video), und die sind in der Aktivitätsanzeige dann als eben solche aufgeführt.
Das Problem bei Flash ist, daß es ein eigenes Kontextmenü verwendet und nicht das normale des Browsers, in dem es die Möglichkeit gibt, den Inhalt zu speichern, wie man das etwa bei Bilder machen kann, indem man "Speichern als ..." oder ein verwandtes Kommando benutzt. Wenn man den genauen URL der Datei kennt, kann man sie jedoch trotzdem herunterladen. Und die einfachste Methode, den URL herauszufinden, ist die Aktivitätsanzeige. Man kann natürlich auch im Quelltext wühlen, aber das ist viel zu umständlich.

Wenn Du den URL also gefunden hast (auf meinem Bild oben siehst Du in etwa, wie der aussehen muß; der wichtigste Indikator ist die Größe, denn nichts anderes bei YouTube ist so groß wie das Video, logischerweise) kopierst Du ihn einfach (unter Windows via Ctrl-C), öffnest das Download-Fenster und fügst ihn da wieder ein (via Ctrl-V). Der Internet Explorer hat soweit ich weiß kein Download-Fenster. Da gibt's aber mit Sicherheit eine Möglichkeit, einen Download per Hand hinzuzufügen. Datei > URL herunterladen oder so vielleicht. Wie genau, weiß ich aber nicht, guck am besten selber oder frag jemanden, der sich damit auskennt.

Wenn Du die .flv-Datei schließlich auf der Platte hast, brauchst Du nur noch einen Player, der das Ding abspielen kann. VLC kann den Container, soweit ich weiß, nativ lesen. Ansonsten gibt's auch Plugins dafür, z.B. für Quicktime.