Hi, erneut melde ich mich mit Aufgaben für das liebe Forum :), diesmal gehts um die Mathematik, bin leider ganz aus dem Thema raus (bin auch ziemlich down deswegen) wie dem auch sei, die Aufgaben:
Funktion: f(x)=(x²-2x)e^-x
1.) Untersuche f auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch-,Tief- und Wendepunkte.
Zeichne den Graphen für -1 < x < 5 (unter den "größer als"-zeichen kommt jeweils noch ein strich für größer als oder gleich)
2.) Zeige, dass F(x)=-x² * e^-x eine Stammfunktion von f ist.
Der Graph von f und die x-Achse begrenzen im gezeichneten intervall eine fläche. Berechne den Flächeninhalt dieser Fläche.
Gut ist, ist relativ schwer, denk ich, sollte eine standart Aufgabe für diejenigen sein die sich gut mit e-funktionen schlagen, für mich jedoch 'ne sau nervige Aufgabe.
Mich interessiert hauptsächlich der Rechenweg, Lösungen können ruhig abweichen (aber sollten sie nicht, bei auf- oder abrunden sollten es nur kleine Abweichungen sein).
In ganzen Sätzen bei Erläuterungen bitte, danke ^^
Lösungen:
14.02.2007, 18:04
zinsl
Schnittpunkt T mit der y-Achse:
einfach f(0) berechnen: f(0)=0*e^(-0)=0 --> T(0|0)
Nullstellen, d.h. Schnittpunkte mit der x-Achse:
f(x)=0 nach x auflösen:
x²-2x=0 --> x(x-2)=0 --> x1=0; x2=2
e^(-x) kann nie gleich 0 sein, weil die e-Fkt. immer positiv sind.
--> N1(0|0) ; N2(2|0)
Hoch- bzw. Tiefpunkte:
erstmal die erste Ableitung bilden.
Hier braucht man die Produktregel, d.h. die Ableitung ist der erste Faktor abgeleitet mal dem zweiten Faktor plus dem ersten Faktor mal dem zweiten Faktor abgeleitet.
f'(x)=(2x-2)*e^(-x) + (x²-2x)*e^(-x)*(-1)
(die Ableitung einer e-Fkt. ist sie selbst, den Exponenten muss man nachdifferenzieren (d.h. die Ableitung des Exponenten kommt mit * dahinter)
f'(x)=e^(-x)(2x-2-x²+2x) (e^(-x) ausgeklammert)
=e^(-x)(-x²+4x-2)
Nun muss man die Gleichung f'(x)=0 lösen.
-x²+4x-2=0 --> Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
x12=-0,5(-4+-sqrt(16-8))=2+-sqrt(2) (was in etwa den Werten in der Lösung entspricht)
Nun muss mal herausfinden, ob es sich um einen Hoch.oder Tiefpunkt handelt. Dazu kann man sich eine Vorzeichentabelle der Ableitung f'(x) aufstellen.
Wenn x gegen -unendlich (minus unendlich) geht, ist die Ableitung negativ (weil -x²+4x-2 negativ ist). daher wechselt das Vorzeichen der Ableitung bei ihrer ersten Nullstelle (x1=0,6) von - nach +. Bei x1 ist also ein Tiefpunkt (vorher fallend, nachher steigend). Bei der zweiten ist ein Hochpunkt (Vorzeichenwechsel von + nach -).
danach musst du noch die x-werte in die Ausgangsfunktion einsetzen, um die y-Werte zu erhalten.
Wendepunkte:
2. Ableitung f''(x) bilden.
f''(x)=-e^(-x)(-x²+4x-2)+e^(-x)(-2x+4)=e^(-x)(x²-4x+2-2x+4)=
=e^(-x)(x²-6x+6)
Gleichung f''(x)=0 lösen (mit der Lösungsformel für quad. Gl.)
x12=0,5(6+-sqrt(36-24))=3+-sqrt(3)
Also hat man zwei Wendepunkte. Danach wieder die x-Werte ganz oben in f(x) einsetzen, um die y-Werte zu kriegen.
Zeichnen sollte kein Problem sein, zu beachten ist, dass f(x) für x gegen +unendlich gegen 0 geht.
2.
um das zu zeigen, leitet man F(x)=-x² * e^-x einfach ab. es muss dann f(x) herauskommen.
F'(x)=-2x*e^(-x)-x²*e^(-x)*(-1)=e^(-x)(-2x+x²)=f(x)
Um die Fläche herauszubekommen, musst du drei Teilflächen berechnen, weil du eine Nullstelle nicht "überspringen" darfst.
d.h. die erste Fläche ist das bestimmte Integral der Funktion f(x) von -1 bis 0.
Ich schreib dafür jetzt einfach mal Int(-1;0).
Int(-1;0)=F(0)-F(-1)
Einfach der Funktionswert der oberen Grenze in der Stammfkt. minus dem Wert der unteren Grenze in der Stammfkt.
Int(-1;0)=0-e=-e
Da der Flächeninhalt nicht negativ sein kann, nimmt man einfach den Betrag des Integrals, d.h. Fläche A1=e
Für die anderen zwei Flächen verfährt man genauso.
A2=|Int(0;2)|=|F(2)-F(0)|=|-4*e^(-4)-0|=4*e^(-4)
A3=|Int(2;5)|=|F(5)-F(2)|=|-25*e^(-5)+4*e^(-4)|= (bin jetzt zu faul, das auszurechnen)
Agesucht=A1+A2+A3
Komischerweise stimmt das überhauot nicht mit der "Lösung" überein. Der PC liefert eine Fläche von 3,63 FE (vielleicht hast du dich vertippt??), was ca. mit meinen Ergebnissen übereinstimmt.
Hab mich jetzt relativ kurz gefasst, wenn du was noch nicht kapiert hast, schreib mir einfach eine pn.
18.02.2007, 14:37
noRkia
hab grad mal zum aufwärmen (yeah die geheimnisse der differenzialgleichungen erwarten mich am freitag -.-)die aufgabe gemacht.
wofür braucht man denn eigentlich hier die 3tte ableitung?
ich meine natürlich ist diese nicht gleich 0.
und bei der fläche könnte man doch eigentlich was kürzen!?:
A= | F(0)-F(-1) | + | F(2)-F(0) | + | F(5)-F(2) |
ergibt bei mir einfach A = F(5) - F(-1)
was ja auch kein wunder ist das das die normale vorgehensweise beim berechnen von flächen ist.nur warum durfte man jetzt nicht
eine "nullstelle nicht überspringen"?
und welche meinst du?warum? ¬_¬'
--> falsch, weil F(2)-F(0) < 0 ist.
Bei den Nullstellen (x=0 und x=2) wechselt das Vorzeichen von f(x). Das heißt dann wiederum, dass mindestens eine Fläche unterhalb der x-Achse liegt (hier zwischen 0 und 2). Diese bestimmten Integrale haben dann einen negativen Wert.
Wenn man einfach F(5)-F(1) rechnen würde, bekäme man eine Flächenbilanz, d.h. man würde herausbekommen, dass soundsoviel mehr Fläche über- bzw. unterhalb der x-Achse existiert als auf der anderen Seite.
Deswegen muss man sich sozusagen von Nullstelle zu Nullstelle "hangeln".
btw:
A= | F(0)-F(-1) | + | F(2)-F(0) | + | F(5)-F(2) |= 2*F(0)-F(-1)-2*F(2)+F(5)
