Bernoulli-Experiment (?)

[YoshiGreen]

Irgendwie bin ich mir nicht so sicher, ob meine Überlegungen richtig sind.

>> Drei Münzen werden sechsmal geworfen.

Da die Reihenfolge der Münzen nicht interessiert, kann man auch von einem 18-fachen Münzwurf ausgehen.
Dann ist das ganze ein 18-Stufiges Bernoulli-Experiment, wobei das Ergebnis Wappen als Erfolg und die Zufallsvariable als Anzahl der Erfolge definiert wird.

E: Wappen
X: Anzahl der Erfolge k

n = 15
p = 0,5
q = 0,5


Soweit so gut. Mit "n über k" Rechne ich nun aus, wieviele verschiedene Möglichkeiten es nun für k Erfolge gibt.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist "Anzahl der Pfade * Pfadwahrscheinlichkeit".

p = q = 0,5 ; Deshalb haben alle Pfade die Wahrscheinlichkeit 0,5^18

Soweit richtig?

Nun geht's aber an die Aufgabe:

>> Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss viermal 2 Wappen.

Jetzt kann ich sagen, dass 4*2 Wappen = 8 Wappen sind und die Wahrscheinlichekit "15 über 8" * 0,5^5 wäre.

Ist das aber korrekt?

Irgendwie hab ich das Gefühl, dass meine Feststellung des 18-fachen Münzwurfes nicht richtig ist.
Kann bitte jemand beweisen, dass man Weg richtig ist oder zeigen wie man das korrekt berechnet?

[Jinjukei]

Hi YoshiGreen!
Hab die Aufgabe mal mit 2 Ansätzen interpretiert:

Drei Münzen werden sechsmal geworfen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss viermal 2 Wappen:

Einmal dein Ansatz, dass man die Würfe im Ganzen betrachtet, sprich: Man wirft die Münze einfach 18-Mal hintereinander und schaut dann bei welcher Wahrscheinlich keit es 8 Wappen ergibt.

Der 2. Ansatz (glaube der ist richtig, weil er schwerer ist :p) ist das man die 6 Würfe wirklich voneinander unabhängig betrachtet. Man wirft die ersten 3 Münzen und schaut wieviel Wappen es gibt, man wirft die nächsten 3 und schaut wieder wieviel Wappen es gibt, usw. Ereignis ist dann, dass man 4-mal 2 Wappen haben muss also nicht ein Wappen beim ersten 3-er Wurf und ein Wappen beim 2-ten 3er Wurf gibt ein geworfenes Paar (2 Wappen)...


1. Ansatz:

Du hast 18 Würfe mit je 2 Möglichkeiten ergibt:
S = 2^18 Gesamtkombinationen

Erfolge (genau 8 Wappen fallen):

Aus den 18 Würfen sollen 8 Wappen fallen:
X = (18 über 8)

Wahrscheinlichkeit:

P(X) = (18 über 8)/2^18

...was deinem Ergebnis entspricht, falls du mit den 15 18 meinst :D

2. Ansatz:

Hab dies auf 2 Wege gelöst, einmal auf Rechnerischem und einmal durch Denken ^^. Zuerst mal Rechnen:

Man schaut die 3er Würfe an:
S(X_1) = 2^3 (Gesamtkombinationen der 3 Münzen zu werfen)

Erfolge (2 Wappen von 3):

X_1 = (3 über 2) = 3

Wahrscheinlichkeit:

P(X_1) = (2 über 3)/2^3 = 3/8

Wenn man sich das Baumdiagramm hinmalt, sieht mans auch :)

Das ist die Wahrscheinlichkeit das man bei einem Wurf 2 Wappen von 3 bekommt. Es gibt 6 Würfe und bei 4 müssen wir 2 Wappen bekommen bei den restlichen was anderes:

P(X_1)^4 * P(X_2)^2 = Wahrscheinlichkeit für eine Kombination, dass man 4mal 2 Wappen in 6 Würfen bekommt.

P(X_2) ist die Wahrscheinlichkeit das man keinen 2er Wappenpasch bekommt, also 1 Wappen, 3 Wappen oder kein Wappen:

X_2=((3 über 3)+(3 über 1) + (3 über 0)) (S(X_2) = 2^3)

P(X_2)=X_2/S(X_2) = 5/8

Jetzt hätten wir die Wahrscheinlichkeit für eine Kombination, brauchen aber für alle Kombinationen:

Es gibt 15! Weil wir 4 aus 6 Richtigen brauchen, also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit:

P(X)= (3/8)^4 * (5/8)^2 * (6 über 4) mit (6 über 4) = 15

(Was die gleiche Wahrscheinlihckeit ist wie wenn man die 2 Falschen aus den 6 nimmt)


(Den Denkansatz edit ich dir nach noch rein weil ich jetzt los muss, hab da gesagt, man nimmt 2 aus den 3 und 4 aus den 6, aber schreib ich nacher noch)

EDIT: Aaaaalso :rolleyes:

Wir haben 6 3er Würfe und ein solcher 3er Wurf hat jeweils 8 Kombinationen dh. Gesamtkombinationen sind dann 8^6 was auch den 2^18 entspricht, also es ändert sich nix an der Gesamtkombinationenanzahl.
Dann nimmt man die 4 - "richtig" geworfenen 2er Pasche von den 6 3er-Würfen also (6 über 4) und multiplizierst sie mit den Kombinationen 2 Pasche aus einem 3er Wurf zu bekommen also (3 über 2)^4 (4 Richtige Würfe).

Als nächstes nimmt man die "falsch" (kein 2er Pasch geworfen) geworfenen 3er- Würfe, also die Kombinationen kein 2er Pasch aus 3 zu bekommen also ((3über1)+(3 über 0) + (3 über 3))^2 = 5^2 (2 Falsche Würfe)

P(X)= (3 über 2)^4 * 5^2 * (6 über 4) / 2^18

Puh ... Hoffe dass es richtig ist, aber so langsam weiss ichs auch nicht mehr :rolleyes: hmm falls du mal irgendwann ein Ergebnis hast, kannst es gern hier reinstellen.