[Mathe] Volumen eines Rotationskörpers

[Expresseon]

Das Schaubild der Funktion h(x) = x + 2sin 2x im Bereich zwischen 0 und ∏/2 schließt mit der 1. Winkelhalbierenden eine Fläche ein, die um die x-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen des Rotatioskörpers.


Als Ansatz habe ich bisher nur die Fläche ausgerechnet, welche 2 ist. Wie bekomme ich nun aber das Volumen des Rotationskörpers?

[Drakes]

Das ist grundsätzlich so definiert:
V = \pi\int_a^b f(x)^2 \,dx
Also Pi mal das Integral von a bis b von der Funktion im Quadrat.

[Expresseon]

Also muss ich f erst quadrieren und dann integrieren? (Und dann mal Pi)

[Drakes]

Ja, aber du musst aufpassen, was du gerade ausrechnest ^^ Also, dass es so immer das Rotationsvolumen um die X-Achse ist. (Falls man z.B. das RotationsVolument zwischen zwei Funktionen versuchen würde auszurechnen) Wie hier etwa, was ist genau mit der Winkelhalbierenden gemeint? (Winkelhalbierende beim Ursprung?)

[Expresseon]

Die 1. Winkelhalbierende ist meines Erachtens nach die Funktion y = x.


Als 1. Winkelhalbierende (Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten) bezeichnet man den Graphen der Funktion f(x)=x. Dieser Graph ist die Ursprungsgerade mit der Steigung 1.

[MaxikingWolke22]

ja.

das quadrat von f ist

x^2 + 4x*sin(2x) + 4*sin^2(2x)

das wird integriert (0|Pi/2) und das dann mit Pi multipliziert.

dann machst du das selbe für die funktion y=x, deren integral 0.5x^2 ist. am ende subtrahierst du die volumina.

[Drakes]

Und pass auf, dass man nicht von Beginn an die Funktionen voneinander subtrahieren kann(wie etwa beim Flächenberechnen), man kommt da nicht auf das selbe Resultat, falls man das tut.