[Mathe] Logarithmus-Parameterfunktion

[Expresseon]

Habe nochmal ein paar Fragen.

ft(x) = ln(t*(1+x)/(1-x)) mit t > 0; Schaubild Kt

a) maximale Definitionsmenge Dt
b) zeigen, dass ft streng monoton zunimmt
c) Für welchen Wert von t berührt Kt die Gerade y = 2x - 3?
d) Kt* ist das Schaubild der Umkehrfunktion von ft* zu ft. ft* angeben.
e) zeigen, dass für a = b, x + a > 0, x + b > 0 die Funktion G mit G(x) = 1/(b-a)*ln((x+a)/(x+b)) eine Stammfunktion
von g mit g(x) = 1/((x+a)(x+b)) ist

meine Ansätze:
a) Wieso D von t? Das ist doch t > 0. D von x ist jedenfalls -1<x<1 wegen Dln = R+
ansonsten vielleicht tmax = +unendlich
b) 1. Ableitung immer positiv, aber wie zeigt man das?
c) 1. Ableitung muss 2 sein, weiter weiß ich nicht
d) f(f*(x)) = x ......
e) Aufleitung von g machen - evtl. kann jemand die Rechenschritte zeigen?

[TheBiber]

a) Dt ist im allgemeinen abhängig vom Parameter t. Da aber t>0 ist Dt in diesem Fall unabhängig davon.
b) Berechne die Ableitung und prüfe nach, ob für alle x, die in Dt liegen, der Wert positiv ist.
c) Was heisst genau berühren? Um die Schnittpunkte zu berechnen, kann man ft mit der Geradengleichung gleichsetzen, du erhältst dann die Schnittstelle x in Abhängigkeit von t. Falls die Gerade Tangente sein soll, dann muss die Ableitung von ft dem Wert 2 entsprechen, wie du richtig erkannt hast. Nimm also die Ableitung, setze sie = 2 und setze dann den oben berechneten Wert von x ein, um eine Gleichung für t zu erhalten.
d) Hier einfach x und f(x) vertauschen und nach f(x) auflösen.
e) Umgekehrt ist es einfacher: Berechne die Ableitung von G(x). Um g(x) zu integrieren, müsstest du eine Partialbruchzerlegung durchführen und so etwas lernt man frühestens im Studium.