Analysis - Graphen zeichnen

[Louzifer]

Ahoi, eigentlich ist es traurig, das ich hier fragen muss, aber ich schreib nächste Woche Freitag meine Abschlußarbeit in Mathe anner Wirt. FOS und hab da ein kleines Problem mit der Zeichnung von Graphen. Ich glaub, ich hab mich einfach nur verrannt und komm' jetzt nicht mehr auf die richtige Lösung.

Sagen wir mal ich hab die Funktion f(x)= -1/2 (x-3)² + 2
Scheitelpunkt lässt sich ja easy rauslesen S (3/2)

Aber wie zum Henker zeichne ich jetzt die einzelnen Punkte in das Koordinatensystem? Woher weiß ich, wieviele "Kästchen" ich zur Seite und nach unten gehen muss? Laut meinem Buch sind die Schnittpunkte mit der X-Achse bei 1 und 5.

Kann mir das vielleicht jemand erläutern? So quasi für "Dumme" ? ^^ Mir gehts im Grunde darum, den ganzen Kram einzuzeichnen - das krieg ich nicht gebacken. (schon etwas länger her, das Thema...)

[TheBiber]

Die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) erhältst du, indem du f(x) = 0 setzt. In deinem Beispiel also 0 = -\frac{1}{2}(x-3)^2+2

Wenn du dies ausmultiplizierst, kommst du auf eine quadratische Gleichung, deren Lösungen die Werte 1 und 5 sind.

Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, wird der Graph eine Parabel sein. Durch die Nullstellen und den Scheitelpunkt sollte diese an sich ohne Probleme zu zeichnen sein.

Alternativ kannst du auch einfach verschiedene Werte für x einsetzen und den entsprechenden Funktionswert berechnen, die berechneten Punkte einsetzen und miteinander verbinden.

[Louzifer]

Ja die Nullstellenberechnung krieg ich hin, aber damit kann ich ja nur behelfsmäßig einen Graphen zeichnen - mir fehlen so die Zwischenpunkte (sagen wir einfach die Stellen bei X= 2/3/4 (fehlt die Y-Koordinate!). Weil wenn ich nur die Nullstellen und den Scheitelpunkt verbinde, ist das ganze sehr ungenau.

Ich krieg das rechnerisch nicht hin, die Teile auszurechnen, also dieses "versch Werte für x einsetzen und den entsprechenden Funktionswert berechnen."

Ich mein, wenn ich für x jetzt, sagen wir, ne 3 einsetze, also f(x)= -1/2 (3-3)² + 2 ausrechne, müsste ich ja theoretisch die Y-Koordinate kriegen oder? Aber gibt es nicht eine einfache, schnellere Möglichkeit, das zu ermitteln? Ähnlich wie bei Geraden wo man einfach "Delta y / Delta x" rechnet? Also z.B. f(x)= 3/4x + 2 wäre dann ja "drei Kästchen nach unten/oben" und "4 Kästchen nach links/rechts" für den nächsten Punkt

[TheBiber]

Nein, gibt es nicht. Geraden lassen sich deshalb einfach zeichnen, weil deren Steigung konstant ist. Bei einer Parabel brauchst du hingegen eine Menge an Punkten, die nahe genug aneinander liegen. Scheitelpunkt, Nullstellen und Schnittpunkt mit der y-Achse sollten an sich genügen, wenn man sich der Parabel-Form einigermassen geläufig ist.

Bei komplizierteren Funktionen sowie höheren Polynomen wäre dann eine Kurvendiskussion per Differentialrechnung notwendig, um z.B. die Maximal- und Minimalstellen oder die Steigung eines beliebigen Punktes zu bestimmen. Aber mehr als qualitative Anhaltspunkte kriegt man nicht. Will man den Graphen möglichst genau zeichnen, verwendet man am besten einen grafikfähigen Taschenrechner oder ein Computerprogramm.

EDIT: Mir kommt da noch die Methode mit der Standardparabel in den Sinn: Dazu musst du wissen, wie die Standardparabel aussieht. Sie geht durch den Scheitelpunkt (0,0) und die Punkte (-1,1) und (1,1), ihr Funktionsterm sieht so aus: f(x)=x^2

Allgemein kann man die quadratische Funktion in er Scheitelform so beschreiben: f(x) = a\cdot(x-c)^2+d, a gibt den Streck- und Spiegelungsfaktor bezüglich x-Achse an. Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet. Ist a dem Betrage nach grösser 1, ist die Parabel gestaucht, ist akdem Betrage nach kleiner 1, ist die Parabel gestreckt. In deinem Fall ist a=-1/2, was heisst, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und um den Faktor 2 gestreckt ist. c und d geben die Verschiebung der Parabel nach rechts/links bzw. oben/unten an. Da du durch c und d auch einfach den Scheitelpunkt ablesen kannst, reicht es, wenn du die Standardparabel gestreckt/gestaucht/gespiegelt einfach an den Scheitelpunkt verschiebst bzw. gleich dort einzeichnest anstatt am Ursprung.

[Louzifer]

Also, auch wenn ich mich jetzt irren mag, aber ich kann mich dunkel an den Unterricht erinnern - und da war es so, dass wir die einzelnen Punkte im Koordinatensystem bestimmt haben um eine "flüssigere" Parabel zeichnen zu können, sprich: die einzelnen Y-Koordinaten zu den dazugehörigen X-Koordinaten gezeichnet. Wie meinst du das genau mit der Normalparabel?

[Dhan]

Die Standardparabel ist der Graph von f(x)=x² (auf den realen Zahlen), wie er eigentlich in einem ganzen Absatz geschrieben hat.

Alle Scheitelformen besitzen mehr oder minder die Form der Standardparabel, nur verschoben (auf beiden Achsen), seitlich gequetscht oder an der Achse gespiegelt
Alle Graphen von quadratischen Termen sehen also mehr oder minder so aus:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Parabel.png/300px-Parabel.png
(in deinem Beispiel an der X-Achse gespiegelt, also "nach oben zeigend" statt wie in dem Bild "nach unten zeigend")

Im Wesentlichen: Eine Scheitelform ist in der Form f(x)=a(x-c)²+d angegeben
a ist die Stauchung, d.h. wie stark das Ding seitlich gestaucht ist, negative Werte spiegeln es an der X-Achse
d ist die Verschiebung nach oben oder unten, c die nach rechts oder links

Mit Lineal oder Zirkel hast du jedenfalls keine Chance, das Ding "genau" zu zeichnen, nur für die Standardparabel hats ne Schablone, du musst also zwangsläufig nach Gefühl zeichnen.
Berechne vielleicht 5 signifikante Punkte (Maximum/Minimum, Schnitte mit den Nullstellen wenn es welche hat, zwei Punkte zwischen Nullstellen und Maximum/Minimum, sowas halt), die zeichnest du dann ein mit nem hübschen Kreuzerl und verbindest sie parabelartig
Umso mehr Punkte du hast, umso genauer wirds natürlich. Aber nicht übertreiben, du willst ja zeitig fertigwerden.

[TheBiber]

Also, auch wenn ich mich jetzt irren mag, aber ich kann mich dunkel an den Unterricht erinnern - und da war es so, dass wir die einzelnen Punkte im Koordinatensystem bestimmt haben um eine "flüssigere" Parabel zeichnen zu können, sprich: die einzelnen Y-Koordinaten zu den dazugehörigen X-Koordinaten gezeichnet.

Das wäre dann halt einfach Werte einsetzen.

Ich machs an obigem Beispiel, du hast also die quadratische Funktion f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2, du kennst den Scheitelpunkt (3,2) und die Schnittpunkte mit der x-Achse (1,0) und (5,0). Um die Parabel genauer zeichnen zu können, setzt am besten einfach mal passende, nahe genug liegende ganzzahlige Werte für x in die Gleichung ein, beispielsweise ganze Zahlen von 0 bis 5. Die Werte die du dann erhältst entsprechen der y-Koordinate. Ich seh irgendwie nicht ganz, wo da das Problem liegen soll...

Für x=0 erhältst du f(0) = -\frac{1}{2}(0-3)^2+2=-2.5, ein Punkt wäre also (0 , -2.5). Für x=2 erhältst du f(1)=-\frac{1}{2}(2-3)^2+2 = 1.5, ein weiterer Punkt ist deshalb (2 , 1.5), usw. In der Nähe des Scheitelpunktes brauchst du aber genauere Informationen, damit der enge Bogen schön gezeichnet werden kann, also setzt du beispielsweise für x noch Werte wie 2.5, 2.75, 3.25 und 3.5 ein. Wenn du nur genügend Punkte berechnet hast, solltest du in der Lage sein, die Parabel einigermassen anständig zu zeichnen. Ausserdem, du weisst ja, wie eine Parabel aussieht, mit etwas Übung kann man sie mit 4 bis 5 Punkten problemlos zeichnen können.

Am Ende sollte das Ding dann so aussehen:

http://mitglied.lycos.de/thebiber/Parabel.GIF