Ich sehe selbst bei diesem Weg nicht, wie du da konkret auf 231 kommst. Aber wie schon erwähnt, ist der Weg unnötig umständlich. Erweitern solltest du wirklich nur dann, wenn du eine Addition durchführst. Nach der Punkt- vor Strichregel kommt hier aber erstmal die Multiplikation dran und erst danach die Addition. Mehr als mit 2 erweitern ist hier nicht notwendig und würde nur die Fehleranfälligkeit erhöhen.Zitat von Italian Dream
Bei der Bestimmung des Schnittpunktes solltest du keine Formeln anwenden, da diese zuwenig flexibel sind in dieser Hinsicht. Insbesondere stimmt -a/b nicht, wenn man sie auf y=ax+b anwendet.
Um den Schnittpunkt mit der x-Achse auszurechnen, musst du lediglich y=0 setzen und die Gleichung nach x auflösen. Für die allgemein Form y=ax+b sieht das so aus:
0 = ax+b
-b = ax
-b/a = x
Im Beispiel y-2/7=-4x ergäbe dies:
0-2/7=-4x
-2/(7*4)=-x
-2/28=-x
1/14=x
Beim Faktorisieren ist der Trick, dass man bei den einzelnen Summanden die gleichen Faktoren erkennt. Beim Zähler sieht man schonmal das a. Ebenso haben 16, 24 und 4 den gemeinsamen Faktor 4. Um dies einzusehen hilft oft, sich die Zahl als Primfaktoren vorzustellen und den ggT herauszufinden: 16=2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 4=2*2.
Die drei Zahlen haben also den ggT 2*2=4.
Beim Nenner sieht man ebenso, dass 5 der ggT ist (da 20 und 30 durch 5 teilbar sind), und man erkennt, dass noch ein b ausklammerbar ist.
Man erhält:
16ab-24ay+4az / 20b²-30by+5bz = 4a(4b-6y+z) / 5b(4b-6y+z)
Und wie es der Aufgabensteller wohl wollte, sieht man hier, dass beide Klammern gleich sind und deshalb weggekürzt werden können. Das Ergebnis ist:
4a(4b-6y+z) / 5b(4b-6y+z) = 4a / 5b
Was hier zu tun ist, ist echt schwer zu sagen, da man hier durch Umordnen fast schon beliebige binomische Formeln anwenden kann:
x²-1/x²+2x+1 = (x+1/x)(x-1/x) +2x+1
oder
x²-1/x²+2x+1 = x²+2x+1-1/x² = (x+1)² +1/x²
Ich wüsste nicht, was hier verlangt ist genau, dafür würde ich den Lehrer lynchen. ^^
Auf die binomischen Formeln komme ich aber noch zurück.
Wie schon erwähnt, musst du hier erkennen, dass im Nenner ein Term mit zwei quadraten und damit eine binomische Formel vorhanden ist. Wie erkennt man dies? Allgemein, sobald du irgendetwas siehst, was vorne und hinten in allen Formen quadriert ist, überprüfe, ob es sich um eines der folgenden Muster handelt:
a²-b²
a²+2ab+b²
a²-2ab+b²
Dann kann man die binomischen Formeln rückwärts anwenden.
Hmm, caius Erklärungen sind diesbezüglich sehr gut. Viel mehr können wir fast nicht mehr tun. Bei Polynomdivision hilft Übung am meisten. Führe einige durch und poste hier deinen Rechenweg, wenn du etwas nicht verstehst.
Ok, diese Aufgabe ist Standard: Du weisst, zwei Punkte definieren eine Gerade. Die Dreiecke ^ bezeichnen das griechische grosse Delta Δ. Es bedeutet nichts anderes als Differenz. Δy heisst also Differenz von zwei y, also das eine y minus das andere y. Deshalb lässt sich die Steigung so schreiben:
m = Δy / Δx = y2-y1 / x2-x1
Mit x1 und y1 sind die Koordinaten des einen Punktes und mit x2 und y2 die Koordinaten des anderen Punktes gemeint. Du brauchst also nur diese Zahlen einzusetzen:
m = Δy / Δx = y2-y1 / x2-x1 = (-3 - 5/6) / (2 - (-2)) = -23/24
Kommen wir nun zur Funktionsgleichung y = f(x) = mx+b. m haben wir ja jetzt berechnet, also ergibt sich nun y = -23/24 *x+b. Fehlt nur noch das b. Das erhalten wir wie gesagt durch Einsetzen eines beliebigen Punktes, der auf der Gerade liegt. Ich nehme P2(2,-3), weil dieser einfacher zum Rechnen ist:
-3 = -23/24 *2+b
-3 = -23/12 + b
-3+23/12 = b
-36/12+23/12 = b
-13/12 = b
Die Funktionsgleichung lautet also f(x) = -23/24 x -13/12.
Jetzt ist noch nach der Nullstelle gefragt. Nullstellen sind diejenigen Stellen der x-Achse, wo die Gerade geschnitten wird. Wie schonmal erwähnt, erhält man sie, indem man y=0 setzt:
0 = -23/24 x - 13/12
13/12 = -23/24 x
26 = -23x
-26/23 = x
Bei solchen Aufgaben immer zuerst die allgemeine Funktionsgleichung hinschreiben: y=mx+b. Da die Steigung m=-2 ist, kommt man sofort auf:
y=-2x+b
Nun weiss man, dass die Gerade die x-Achse bei x=4 schneidet. Der Schnitt mit der x-Achse bedeutet wie gesagt y=0. Daraus ergibt sich:
0=-2*4+b
8=b
Die Funktionsgleichung lautet also: y=-2x+8.
Den Schnittpunkte zweier Funktionen lässt sich berechnen, indem man beide Funktionen gleich setzt. Der Grund dafür ist, dass der Schnittpunkt S(x,y) beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen muss, d.h. y und x ist in beiden Gleichungen dieselbe Zahl. Dies führt zu:
-1/5 x+4 = 2/5 x+5.5
-1.5 = 3/5 x
-2.5 = x
Den y-Wert erhält man dann durch einsetzen von x in eine der beiden Gleichungen:
y = -1/5*(-2.5)+4 = 0.5+4 = 4.5.
Der Schnittpunkt ist also S(-2.5 , 4.5).
Hier muss man wissen, was rechtwinklig formal bedeutet. Zwei Geraden sind rechtwinklig zueinander, wenn deren Steigungen der negative Reziprokwert entspricht. Das bedeutet, wenn man von der einen Steigung das Vorzeichen umkehrt, und Zähler und Nenner der Steigung vertauscht, erhält man die Steigung der rechtwinkligen Geraden. Von g2 haben wir bis auf weiteres keine Informationen. Bei g1 hingegen haben wir zwei Punkte gegeben, so dass wir die Steigung berechnen können:
m = Δy / Δx = y2-y1 / x2-x1 = (1 - 0) / (-1 - (-4)) = 1/3.
Kehren wir das Vorzeichen und tauschen Zähler und Nenner aus erhalten wir -3/1, also -3 für die Steigung von g2.
Die Gleichung für g2 sieht also vorerst so aus: y = -3x + b. Um das b zu bestimmen, müssen wir die Information benutzen, dass der Schnittpunkt bei p2 liegt, also bei (-1 , 1). Die Koordinaten können wir einmal mehr einfach einsetzen:
1 = -3*(-1)+b
-2=b
Die Gleichung für g2 lautet also y = -3x-2.
Um die Geraden in ein Koordinatensystem zu zeichnen, braucht man diese Ergebnisse allerdings nicht. g1 zeichnet man, indem man beide gegebenen Punkte miteinander verbindet und g2 erhält man, indem man eine senkrechte in p2 dazu zeichnet, z.B. mit Geodreieck. Es empfiehlt sich, diesen Aufgabenteil zuerst zu lösen, da Zeichnen meist etwas weniger aufwendig ist als Rechnen, zudem hast du da bereits ein anschauliches Resultat, womit du die Rechnung überprüfen kannst.
Auch hier gilt ein einfaches Prinzip: Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Für g2 ist also lediglich noch b unbekannt. Hierführ einfach wieder den Punkt A(2 , 6) einsetzen:
6 = 5*2 + b
-2 = b
Funktionsgleichung: y = 5x-2
Das Patentrezept kennst du, wenn du Aufgabe 1 lösen konntest: 2 Punkte einer Geraden ablesen, daraus die Steigung berechnen und durch einsetzen einer der Punkte b berechnen, danach die Funktionsgleichung hinschreiben.Bei der letzten Aufgabe sollte man dann aus einem Koordinaten sytsem zu jeder Gerade eine Funktionsgleichung bestimmen , hab das mal eingescannt :
da verstehe ich nicht wie man das ablesen soll.
Nichtsdestotrotz geht es hier viel einfacher: b bezeichnet nämlich IMMER den Schnittpunkt mit der y-Achse: Dieser lässt sich für alle Geraden sofort ablesen:
(1) b=4
(2) b=0
(3) b=1
(4) b=-4
(5) b=-2.75
(6) b=-4
Die Steigung hingegen muss normal berechnet werden. Auch funktionieren tut allerdings Häuschen zählen: Die Steigung ist definiert als Anzahl Häuschen nach oben geteilt durch Anzahl Häuschen durch rechts innerhalb des gleichen Abschnittes, auch Steigungsdreieck genannt. Horizontale Geraden haben stes die Steigung 0. Dazu gilt noch, dass steigende Geraden eine positive Steigung und fallende Geraden eine negative Steigung haben:
(1) m=3/4
(2) m=1
(3) m=1/4
(4) m=0
(5) m=-1
(6) m=-3
Daraus ergeben sich die Funktionsgleichungen:
(1) f(x) = 3/4 x +4
(2) f(x) = x
(3) f(x) = 1/4 x +1
(4) f(x) = -4
(5) f(x) = -x -2.75
(6) f(x) =- 3x -4
Das Verstehen der Zusammenhänge ist bei mündlichen Prüfungen wichtiger als das Rechnen. Du solltest also wissen, was die Steigung bedeutet und wie man sie berechnet, was b bedeutet, wie man parallele und senkrechte Geraden beschreibt, etc. allgemein ist es bei mündlichen Prüfungen wichtiger, dass man die Formeln kennt und weiss, wie man bei Aufgaben vorgeht. Das konkrete Rechnen ist weniger relevant.
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