Ok, die Aufgaben, die du stelltest gehören zu den bereits von mir erwähnten Methoden der elementaren algebraischen Umformungen. Es ist klar, dass diese für die von dir anfangs erwähnten Themen grundlegend wichtig sind.
Du sagst, du wüsstest prinzipiell, wie man die Aufgaben löst, aber beim Rechenweg Probleme bekommst. Deshalb werde ich die Aufgaben schrittweise einmal vorlösen und erklären, wieso man es macht und welche Gesetze man hier anwendet.
Die Darstellung hier ist allerdings manchmal problematisch. Insbesondere beim Bruchstrich werde ich anstelle von
blabla
''''''bla
einfach (blabla)/(bla) verwenden. Sollte hoffentlich kein Problem sein.
1. 5-(10-8*3):10
Dies ist an sich pure Arithmetik, in erster Linie wird hier die Regel Klammer- vor Punkt- vor Strichrechnung angewendet.
Hierbei wird der Term in der Klammer zuerst ausgerechnet, wobei wiederum Punkt- vor Strichrechnung angewandt wird:
5-(10-8*3):10 = 5-(10-24):10 = 5-(-14):10 = 5+14:10
Zuletzt wurden die Rechenregeln für negative Zahlen verwendet:
-(-) = +
-(+) = -
+(-) = -
+(+) = +
Anschliessend normal Punkt- vor Strichrechnung. Bei der Division kann das Ergebnis als unechter Bruch, echter Bruch oder Dezimalbruch dargestellt werden:
5+14:10 = 5+7/5 oder = 5+1 2/5 oder = 5+1.4
Den unechten Bruch erhält einfach durch Kürzen. Den echten Bruch, indem man beim Nenner solange fünf abzieht und eine 1 vorhehin schreibt, bis der Bruch echt wird. Den Dezimalbruch erhält man normal durch schriftliche Divison.
Ebenso lässt sich das Ergebnis verschieden darstellen, die drei Rechnungen verwenden leicht andere Methoden:
6.4 oder 6 2/5 oder 32 /5
Ich kann natürlich nicht abschätzen, wie stark du mit all den Rechenmethoden vertraut bist.
2. 1 1/2 + 3 3/4 * 2 1/5
Aus reiner Erfahrung ist anzumerken, dass das Rechnen mit echten Brüchen ungemein kompliziert ist, insbesondere ist deren Interpretation nicht eindeutig. In erster Linie sollten also alle Brüche umgeschrieben werden:
1 1/2 + 3 3/4 * 2 1/5 = 3/2 + 15/4*11/5
Anschliessend wieder Punkt- vor Strichrechnung. Brüche werden multipliziert, indem man Zähler und Nenner seperat multipliziert, insbesondere dürfen Bruchprodukte beliebig gekürzt werden. Dies ist zu empfehlen, da Kürzen die Rechnung stets vereinfacht:
3/2 + 15/4*11/5 = 3/2 + 3/4*11/1 = 3/2 + 33/4
Um Brüche zu addieren, müssen sie gleichnamig gemacht werden. Das kgV von 2 und 4 ist 4. Der erste Bruch muss also mit 2 erweitert werden, der zweite kann so belassen werden. Eine andere Methode wäre einfach irgendein gemeinsames Vielfaches der Nenner zu wählen und am Ende wieder zu kürzen. Diese Methode ist umständlicher, man braucht sich allerdings nicht das kgV zu überlegen. Dennoch nehme ich erste Methode:
3/2 + 33/4 = 3/2*2/2 + 33/4 = 6/4+ 33/4 = 39/4
Das Ergebnis lässt sich nicht kürzen. Es kann aber wieder in einen echten Bruch oder Dezimalbruch umgeschrieben werden, hängt davon ab, in welcher Form das Resultat gewünscht ist:
39/4 = 9 3/4 = 9.75.
Leider kann ich bei deinem Resultat von 231 nicht überprüfen, wo der Fehler liegt, wenn du deinen eigenen Rechenweg nicht mitgeteilt hast. Von Auge seh ich ihn nämlich gerade nicht.
3. x^5 :2
''''''''''''''x³
Wie gesagt verwende ich die Schreibweise (x^5:2)/(x^3)
Hier ist der Trick, den Doppelbruch zu erkennen: ((x^5)/(2))/(x^3), die Klammern sind wichtig, um zu wissen, welche Division zuerst ausgeführt wird! Man kann es auch ohne Klammern schreiben, sollte aber dann den äusseren Bruch durch einen fetteren oder längeren Strich kennzeichnen.
Bei Doppelbrüchen kann man salopp auf die folgende Formel zurückgreifen ((a)/(b))/((c)/(d)) = ((a)*(d))/((b)*(c)), man kann sich merken, das die Elemente, die weiter vom dicken Bruchstrich weg sind, den neuen Zähler bilden, während die Elemente nahe am dicken Bruchstrich den neuen Nenner bilden.
Auf obige Aufgabe bezogen muss man für diese Formel (x^3) auffassen als ((x^3)/1).
Gemäss Formel erhält man a = x^5, b = 2, c = x^3, d = 1 und damit:
((x^5)/(2))/((x^3)/1) = ((x^5)*1)/(2*x^3) = (x^5)/(2x^3)
Anschliessend kann man gemäss der Potenzregel x^5 / x^3 = x^(5-3) = x^2
einfach kürzen:
(x^5)/(2x^3) = (x^2)/2
Fertig.
4. y²*10y*(-1/2 y^5)
""""""""""""y+y
Ist anders geschrieben wiederum (y^2*10y*(-1/2*y^5))/(y+y).
Auch hier gilt in erster Linie Klammer- vor Punkt- vor Strich:
(y^2*10y*(-1/2*y^5))/(y+y) = (y^2*10y*(-y^5 / 2)/(2y) = (-5y^8)/2y
Beim letzten Schritt hab ich wiederum die Potenzregel y^2*y*y^5=y^2*y^1*y^5=y^(2+1+5)=y^8 verwendet. Die gewöhlichen Zahlen können alle seperat zusammenmultipliziert werden, ebenso kommt das Minus einmal als Faktor vor und bleibt somit erhalten.
Am Ende werden wieder Potenzregel angewendet:
(-5y^8)/2y = -5y^7 / 2 = -5/2*y^7 = -2.5*y^7
Es stellt sich wiederum die Frage nach der Darstellung des Resultats, weshalb ich wieder mehrere Möglichkeiten hingeschrieben habe.
5. (Binomische Formeln) (5x-1/2)^11
""""""""""""""""""""""""""(5x-1/2)^9
Wie du richtig geschrieben hast, handelt es sich hier um die binomischen Formeln. Da aber die Klammer im Zähler und im Nenner gleich ist, ist dringend angeraten, erst einmal die Potenzregel anzuwenden, um zu kürzen. Dann sieht das Ergebnis nämlich um einiges einfacheraus:
((5x-1/2)^11)/((5x-1/2)^9) = (5x-1/2)^(11-9) = (5x-1/2)^2.
Jetzt lassen sich die binomischen Formeln bequem anwenden. Sie lauten bekanntlich:
(1) (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(2) (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(3) (a+b)(a-b)=a^2-b^2
Offensichtlich haben wir es hier mit dem Fall (2) zu tun. Angewendet ergibt:
(5x-1/2)^2 = (5x)^2-2*5x*1/2+(1/2)^2
Beim potenzieren muss jeder Faktor einzeln potenziert werden. Der Summand in der Mitte kann normal zusammengefasst und geordnet werden. Das ergibt:
(5x)^2-2*5x*(1/2)+(1/2)^2 = 25x^2-5x + 1/4
Auch hier kann man das Ergebnis wieder umschreiben mit Dezimalbrüchen, aber ich lass dies vorerst mal.
6. 1/2(x²-x+5)
Hier ist nicht eindeutig was gemeint ist. Meinst du 1/2 * (x^2-x+5) oder meinst du 1/(2(x^2-x+5)).
Auf jeden Fall geht es hier um die Anwendung des Distributivgesetzes:
a*(b+c) = ab+ac
Für beide Fälle ergibt dies:
1/2 * (x^2-x+5) = x^2 / 2 - x/2 + 5/2
1/(2(x^2-x+5)) = 1/(2x^2-2x+10)
7. (5x-4)*(2x+3)-(x-1/2)*(x-6)
Hier wird man die erweiterte Form des Distributivgesetzes anwenden müssen:
(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)= ac+ad+bc+bd
Ich gehe nicht näher darauf ein, sondern rechne einfach durch, wichtig ist es, die Klammer zu setzen! Die Rechnung solltest du mit dem Wissen, dass ich hier präsentiert habe, nachvollziehen können:
(5x-4)*(2x+3)-(x-1/2)*(x-6) = (10x^2+15x-8x-12) - (x^2-6x-1/2*x+3)
Der weitere Weg wäre wieder Klammer- vor Punkt- vor Strichrechnung. Da aber die Klammern nicht ausgerechnet werden können, muss man sich den Klammerregeln bedienen, um die Klammern aufzulösen. Vorher können aber noch gleichartige Summanden innerhalb der Klammern zusammengefasst werden:
(10x^2+15x-8x-12) - (x^2-6x-1/2*x+3) = (10x^2+7x-12) - (x^2-5.5x+3)
Die Klammerregeln funktionieren so, dass wenn ein Plus oder nichts vor der Klammer steht, diese weggelassen werden kann. Für die erste Klammer ist dies der Fall. Steht hingegen ein Minus vor der Klammer, wie hier in der zweiten Klammer, dann kann man diese weglassen, wenn man sämtliche Vorzeichen umkehrt, wobei darauf zu achten ist, dass kein Vorzeichen automatisch für ein Plus steht:
(10x^2+7x-12) - (x^2-5.5x+3) = 10x^2+7x-12 -x^2+5.5x-3
Anschliessend wieder gleichartige Summanden zusammenfassen:
10x^2+7x-12 -x^2+5.5x-3 = 9x^2+12.5x-15
Arbeitstechnisch empfiehlt es sich, beim vorherigen Term die Summanden zu unterstreichen, die man bereits berechnet hat. Dies mag hier überflüssig erscheinen, bei langen Termen ist es aber unumgänglich für die Übersichtlichkeit.
Nebenbei, ich erhebe keinen Anspruch auf Fehlerfreiheit. Falls du Fehler siehst oder etwas nicht verstehst, mach mich darauf aufmerksam und frag unbedingt nach.
Zitieren
. Das (a²-b²) im Nenner genügt der 3. binomischen Formel, und man kann (a+b) in Zähler und Nenner kürzen. Übrig bleibt 3/(a-b).
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