Schwere Mathe Probleme

[TheBiber]

Wie schon erwähnt, wäre es gut, wenn du Fragen stellst und Aufgaben, die du nicht begreifst, hier herein postest. Und immer darauf achten, richtig abzuschreiben.

Die fünf Themengebiete sind elementar und können mehr oder minder umfangreich sein. Das Problem ist, zu wissen, was vom Lehrer verlangt wird. Ich kann dir schon einen Überblick über die Themen geben, doch kann ich dir nicht verraten, welche Aufgaben konkret drankommen, ebenso kann ich nicht helfen, wenn ich nicht weiss, wo du Probleme hast. Denn Schulmathematik beruht in erster Linie darauf, die Methoden richtig zu lernen. Leider gibt es eine Menge didaktischer Banausen, die man sehr wohl verantwortlich machen kann, wenn man die Mathethemen nicht richtig bzw. falsch versteht. Fehler entstehen durch falsch eingeübte Methoden und die Lösung ist, diese Methoden zu korrigieren.

Zu den Themen:

Lineare Gleichungen
Hier wüsste ich nicht, was ich erklären soll. Linear heisst nichts anderes, als dass keine Potenzen der gesuchten Variablen auftreten. Beispiele für lineare Gleichungen mit x als gesuchter Variable:

(x-5)+3x=2x-4
-(3x+1/4)+x/8=(x-4)/6
(ax-b^2)-a^2+bx=(7/a+x)/(b-a)

Der Lösungsweg besteht darin, die Gleichungen durch algebraische Umformungen nach x aufzulösen. Die a und b der letzten Gleichung sind Konstanten, da nach x gefragt ist und dürfen praktisch wie Zahlen behandelt werden. Natürlich braucht es einen ganzen Vorrat an algebraischer Methoden, um solche Gleichungen lösen zu können: Punkt- vor Strichrechnung, Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetze, binomische Formeln, das Wissen um negative Zahlen und allgemeines Bruchrechnen. Wenn du obige Beispiele lösen kannst, solltest du eigentlich alles dazu wissen. Ausser es handelt sich bei der Frage nach linearen Gleichungssystemen, wo mehrere Gleichungen und mehrere Variablen vorkommen, falls ja, kann ich dazu ebenso die Grundlagen erklären.

Lineare Funktionen
Funktionen sind einfach gesagt Abbildungen, bei denen einer Variable den Wert in Abhängigkeit einer anderen Variable zugewiesen wird. Man kann sie auch als Gleichung mit zwei Unbekannten auffassen, aufgelöst nach der einen Variablen. Die Lösungsmenge ist dann der Graph der Funktion in der zweidimensionalen Ebene. Die unabhängige Variable wird meistens mit x bezeichnet stellt die horizontale Koordinatenachse dar. Die vertikale Achse wird mit y bezeichnet und stellt den Funktionswert f(x) dar, weshalb gilt y=f(x). Die Punkte in der Ebene kann man als (x,y) bzw. (x,f(x)) bezeichnen.
Lineare Funktionen haben allgemein die Form f(x)=mx+b. Jede lineare Funktion kann durch algebraische Umformungen auf diese Form gebracht werden. Lineare Funktionen beschreiben immer eine Gerade, die nicht senkrecht sein kann, was auf die Definition des Funktionsbegriff zurückzuführen ist. m bezeichnet bei diesen Funktionen die Steigung. Bei einer gegebenen Gerade, wo der Funktionsterm gesucht ist, erhält man die Steigung, indem man von zwei Punkten die Differenz von y durch die Differenz von x teilt, wobei man darauf achten muss, jeweils beim gleichen Punkt anzufangen. b wird als y-Achsenabschnitt bezeichnet und man erhält ihn, wenn man in die Funktionsgleichung bei gegebener Steigung einen beliebigen Punkt, auf dem die Gerade liegt, einsetzt.

Beispiel: Die Gerade geht durch die Punkte (3,5) und (11,9). Die Steigung m ist demnach m=(9-5)/(11-3)=1/2.
In unserem Beispiel y=1/2*x+b könnte man den Punkt (3,5) einsetzen, daraus folgt 5=1/2*3+b, auflösen ergibt b=3.5. Die gesuchte Funktion ist in diesem Falle f(x)=1/2*x+3.5.

Im umgekehrten Fall, wenn man bei gegebener Funktion die Gerade zeichnen will, setzt man einfach zwei x-Werte ein, berechnet dann die beiden f(x) und erhält so zwei Punkte, deren Verbindung die Gerade ist.

Dann gibt es noch Spezialfälle: Im Fall b=0 ist die Funktion f(x)=mx eine Gerade durch den Nullpunkt und wird gelegentlich als proportionale Funktion bezeichnet. Im Fall m=0 ist die Funktion f(x)=b eine horizontale Gerade. Falls sowohl m=0 als auch b=0, dann entspricht die Funktion der x-Achse.

Quadratische Gleichungen -> PQ-Formel
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die unbekannte Variable höchstens quadriert vorkommt. Beispiele:

3x^2-(8-x)+4x=x^2
(ax+3)(5x-b)-8ab=x

Jede quatratische Gleichung lässt sich auf die Form ax^2+bx+c=0 bringen und mit der abc-Formel (oder Mitternachtsformel) lösen. Ich gehe nicht näher darauf ein, da du nach der pq-Formel fragst. Für diese lässt sich jede quadratische Gleichung auf die Normalform x^2+px+q=0 bringen. Am besten bringst du sie erst auf die Form ax^2+bx+c=0 und teilst dann einfach durch a. Wie auch immer, eine quadratische Gleichung der Form x^2+px+q=0 hat die zugehörige pq-Formel x=-p/2±√((p/2)^2-q) oder x=-p/2±√(p^2 /4 -q). Eine quadratische Gleichung hat im allgemeinen genau zwei Lösungen, da ich aber davon ausgehe, dass nur nach reellen Lösungen gefragt ist, ist eines wichtig: Ist der Term unter der Wurzel positiv, erhältst du wegen dem ± zwei reelle Lösungen. Wird der Term unter der Wurzel 0, erhältst du die triviale Doppellösung x=-p/2. Wird der Term negativ, so hat die Gleichung keine reellen Lösungen (wohl aber komplexe Lösungen, worauf ich aber nicht näher eingehen werde).

Quadratische Funktionen
Hier ist wirklich schwer, was ich sagen soll, da das Thema beliebig umfangreich gestaltet werden kann. Allgemein haben quadratische Funktionen die Form f(x)=ax^2+bx+c oder die Normalform f(x)=x^2+px+q. Dann gibt es noch die Scheitelpunktform f(x)=a(x-xs)^2+ys. Themen könnten wahrscheinlich sein, Nullstellenbestimmung, d.h. man setzt f(x)=0 und erhält dann eine quadratische Gleichung. Ein anderes Thema wäre die Bestimmung des Scheitelpunktes, wobei die Gleichung deshalb auf Scheitelpunktform gebracht werden muss, wo der Scheitelpunkt (xs,ys) direkt abgelesen werden kann. Am besten einfach fragen, was du genau erklärt haben willst.

Polynomdivision
Dieses Thema ist klassisch zum Verwirrung stiften, wenn die Methodik nicht genau genug erklärt wird.
Auf jeden Fall hast du zwei Polynome, die du teilen willst. Polynome sind Terme in einer Variablen mit beliebigen Potenzen, die höchste vorkommende Potenz wird Grad des Polynoms genannt. Die einzelnen Elemente eines Polynoms werden Monome genannt, z.B. 2x^3. Von den anderen Themen lässt sich erläutern: Polynome vom Grad 1 sind lineare Terme und Polynome vom Grad 2 sind quadratische Terme. Beispiele:

(1) x^5+2x^3-4x^2+4 -> Grad 5
(2) x^3-6x^2 -> Grad 3

Eine Polynomdivision lässt sich nur dann ausführen, wenn der Grad des Zählers gleich oder grösser ist als der Grad des Nenners (ansonsten muss man die sogenannte Partialbruchzerlegung durchführen, ein methodisch relativ anspruchsvolles Verfahren, das man in der Schule aber nicht kennenlernt). Wie ist nun konkret vorzugehen? Nehmen wir obiges Beispiel und teilen das Polynom (1) durch das Polynom (2). Man schreibt dies jetzt nicht als Bruch, sondern wie in der Grundschule als Teilungsoperation:

(x^5+3x^3-2x^2+4) : (x^3-6x^2) =

Als erstes teilt man das Monom mit der höchstens Potenz des Zählers, hier x^5 durch das Monom der höchstens Potenz des Nenners, also x^3 und erhält deshalb x^2 (weil x^5 : x^3 = x^(5-3) = x^2, falls dir das nicht klar ist, unbedingt nochmals die Potenzregeln nachschlagen). Dieses erste Lösungsmonom wird anschliessend mit dem GANZEN Nenner rückmultipliziert und unter den Zähler geschrieben. Der resultierende Term wird dann vom Zähler abgezogen (Klammer und minus davor setzen) und wie zu Grundschulzeiten ebenso untendran hingeschrieben:

(x^5+3x^3-2x^2+4) : (x^3-6x^2) = x^2
-(x^5-6x^4) (rückgerechnetes abziehen)
6x^4+3x^3-2x^2+4 (neuer Zähler)

Das wichtigste hierbei ist, dass man nun einen neuen Zähler erhalten hat, dessen Grad niedriger ist als derjenige des alten Zählers. Mit diesem neuen Zähler kann man wieder dasselbe Verfahren durchführen, bis der Grad kleiner wird als der Grad des Nenners. Dieses Übrigbleibsel kann dann als Restbruch hingeschrieben werden:

(x^5+3x^3-2x^2+4) : (x^3-6x^2) = x^2+6x+39
-(x^5-6x^4) (rückgerechnetes abziehen)
6x^4+3x^3-2x^2+4 (neuer Zähler)
-(6x^4-36x^3) (rückgerechnetes abziehen)
39x^3-2x^2+4 (neuer Zähler)
-(39x^3-234x^2) (rückgerechnetes abziehen)
232x^2+4 (neuer Zähler, STOPP, weil Grad kleiner Nennergrad!)

Das Resultat ist dann ganz einfach x^2 + 6x + 39 + (232x^2+4)/(x^3-6x^2)
Der Restbruch lässt sich dann nicht mehr so einfach zerlegen, obwohl dies wie angetönt mit Partialbruchzerlegung möglich wäre. Ach ja, falls der neue Zähler irgendwann null werden wird, heisst dass, die Polynomdivision ist restlos aufgegangen. Möglich, dass in der Schule in erster Linie solche Aufgaben drankommen werden.

EDIT: Noch eine weitere Ergänzung: Wenn der neue Zähler denselben Grad hat wie der Nenner ist es gut möglich, dass sie identisch oder Vielfache voneinander sind. Beispiel Zähler x^2+3x+2 und Nenner 5x^2+15x+10. Sowas muss man quasi selbst erkennen. Ist dies der Fall, dann kann der Faktor ausgeklammert und das Polynom weggekürzt werden. Das würde in unserem Fall so aussehen: (x^2+3x+2)/(5(x^2+3x+2)) = 1/5.
Bei einer Identität würde es trivialerweise eine 1 geben.


Fragen?