Schwere Mathe Probleme

[Italian Dream]

Hey,

Also ich hab folgendes Problem

Dadurch das ich auf meinem letzten Zeugnis eine 5 in Mathe hatte, muss ich Anfang August zur Nachprüfung , wenn ich die versiebe komme ich nicht in die 12.

Deswegen wollte ich fragen ob jemand die Themen (und alles was da so zugehört )

Lineare Funktionen

Polynom Division

Quadratische Funktionen

Lineare Gleichungen

Quadratische Gleichungen -> PQ Formel

ausführlich evtl. mit Beispielen ect. erklären kann.


Zum Thema Funktionen hab ich ein paar Übungen gemacht, das ging auch ganz gut, aber jetzt kommen Aufgaben bei denen ich irwie die Lösungen nicht so ganz nachvollziehen kann.

Bsp.

f(x)= 7x-(3-2x) , für x soll -1 eingesetzt werden . In den Lösungen steht jetzt da würde 5,5 rauskommen, ich verstehe aber echt nicht wieso.
und wie man bei der selben Aufgabe 1/3 einsetzen soll und ausrechnen wird mir auch nicht so ganz klar

Naja ich freue mich über eure Hilfe

[Dhan]

f(-1) = -7 - (3+2) = -12
5,5 kann nicht stimmen, entweder die Lösung ist falsch oder du hast falsch geschaut

Welche Schwierigkeiten hast du beim Einsetzen von 1/3 genau? Du ersetzt jedes Vorkommen von x mit 1/3 und rechnest das aus, wo genau liegt das Problem?

Zu den anderen Punkten, stell uns am Besten Fragen

Zu Polynomdivison, bei der ist es nützlich sich nochmal klarzumachen, wie man früher geteilt hat, also mit Rest und so weiter, dann ist Polynomdivision garnicht soo schlimm

[TheBiber]

Wie schon erwähnt, wäre es gut, wenn du Fragen stellst und Aufgaben, die du nicht begreifst, hier herein postest. Und immer darauf achten, richtig abzuschreiben.

Die fünf Themengebiete sind elementar und können mehr oder minder umfangreich sein. Das Problem ist, zu wissen, was vom Lehrer verlangt wird. Ich kann dir schon einen Überblick über die Themen geben, doch kann ich dir nicht verraten, welche Aufgaben konkret drankommen, ebenso kann ich nicht helfen, wenn ich nicht weiss, wo du Probleme hast. Denn Schulmathematik beruht in erster Linie darauf, die Methoden richtig zu lernen. Leider gibt es eine Menge didaktischer Banausen, die man sehr wohl verantwortlich machen kann, wenn man die Mathethemen nicht richtig bzw. falsch versteht. Fehler entstehen durch falsch eingeübte Methoden und die Lösung ist, diese Methoden zu korrigieren.

Zu den Themen:

Lineare Gleichungen
Hier wüsste ich nicht, was ich erklären soll. Linear heisst nichts anderes, als dass keine Potenzen der gesuchten Variablen auftreten. Beispiele für lineare Gleichungen mit x als gesuchter Variable:

(x-5)+3x=2x-4
-(3x+1/4)+x/8=(x-4)/6
(ax-b^2)-a^2+bx=(7/a+x)/(b-a)

Der Lösungsweg besteht darin, die Gleichungen durch algebraische Umformungen nach x aufzulösen. Die a und b der letzten Gleichung sind Konstanten, da nach x gefragt ist und dürfen praktisch wie Zahlen behandelt werden. Natürlich braucht es einen ganzen Vorrat an algebraischer Methoden, um solche Gleichungen lösen zu können: Punkt- vor Strichrechnung, Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetze, binomische Formeln, das Wissen um negative Zahlen und allgemeines Bruchrechnen. Wenn du obige Beispiele lösen kannst, solltest du eigentlich alles dazu wissen. Ausser es handelt sich bei der Frage nach linearen Gleichungssystemen, wo mehrere Gleichungen und mehrere Variablen vorkommen, falls ja, kann ich dazu ebenso die Grundlagen erklären.

Lineare Funktionen
Funktionen sind einfach gesagt Abbildungen, bei denen einer Variable den Wert in Abhängigkeit einer anderen Variable zugewiesen wird. Man kann sie auch als Gleichung mit zwei Unbekannten auffassen, aufgelöst nach der einen Variablen. Die Lösungsmenge ist dann der Graph der Funktion in der zweidimensionalen Ebene. Die unabhängige Variable wird meistens mit x bezeichnet stellt die horizontale Koordinatenachse dar. Die vertikale Achse wird mit y bezeichnet und stellt den Funktionswert f(x) dar, weshalb gilt y=f(x). Die Punkte in der Ebene kann man als (x,y) bzw. (x,f(x)) bezeichnen.
Lineare Funktionen haben allgemein die Form f(x)=mx+b. Jede lineare Funktion kann durch algebraische Umformungen auf diese Form gebracht werden. Lineare Funktionen beschreiben immer eine Gerade, die nicht senkrecht sein kann, was auf die Definition des Funktionsbegriff zurückzuführen ist. m bezeichnet bei diesen Funktionen die Steigung. Bei einer gegebenen Gerade, wo der Funktionsterm gesucht ist, erhält man die Steigung, indem man von zwei Punkten die Differenz von y durch die Differenz von x teilt, wobei man darauf achten muss, jeweils beim gleichen Punkt anzufangen. b wird als y-Achsenabschnitt bezeichnet und man erhält ihn, wenn man in die Funktionsgleichung bei gegebener Steigung einen beliebigen Punkt, auf dem die Gerade liegt, einsetzt.

Beispiel: Die Gerade geht durch die Punkte (3,5) und (11,9). Die Steigung m ist demnach m=(9-5)/(11-3)=1/2.
In unserem Beispiel y=1/2*x+b könnte man den Punkt (3,5) einsetzen, daraus folgt 5=1/2*3+b, auflösen ergibt b=3.5. Die gesuchte Funktion ist in diesem Falle f(x)=1/2*x+3.5.

Im umgekehrten Fall, wenn man bei gegebener Funktion die Gerade zeichnen will, setzt man einfach zwei x-Werte ein, berechnet dann die beiden f(x) und erhält so zwei Punkte, deren Verbindung die Gerade ist.

Dann gibt es noch Spezialfälle: Im Fall b=0 ist die Funktion f(x)=mx eine Gerade durch den Nullpunkt und wird gelegentlich als proportionale Funktion bezeichnet. Im Fall m=0 ist die Funktion f(x)=b eine horizontale Gerade. Falls sowohl m=0 als auch b=0, dann entspricht die Funktion der x-Achse.

Quadratische Gleichungen -> PQ-Formel
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die unbekannte Variable höchstens quadriert vorkommt. Beispiele:

3x^2-(8-x)+4x=x^2
(ax+3)(5x-b)-8ab=x

Jede quatratische Gleichung lässt sich auf die Form ax^2+bx+c=0 bringen und mit der abc-Formel (oder Mitternachtsformel) lösen. Ich gehe nicht näher darauf ein, da du nach der pq-Formel fragst. Für diese lässt sich jede quadratische Gleichung auf die Normalform x^2+px+q=0 bringen. Am besten bringst du sie erst auf die Form ax^2+bx+c=0 und teilst dann einfach durch a. Wie auch immer, eine quadratische Gleichung der Form x^2+px+q=0 hat die zugehörige pq-Formel x=-p/2±√((p/2)^2-q) oder x=-p/2±√(p^2 /4 -q). Eine quadratische Gleichung hat im allgemeinen genau zwei Lösungen, da ich aber davon ausgehe, dass nur nach reellen Lösungen gefragt ist, ist eines wichtig: Ist der Term unter der Wurzel positiv, erhältst du wegen dem ± zwei reelle Lösungen. Wird der Term unter der Wurzel 0, erhältst du die triviale Doppellösung x=-p/2. Wird der Term negativ, so hat die Gleichung keine reellen Lösungen (wohl aber komplexe Lösungen, worauf ich aber nicht näher eingehen werde).

Quadratische Funktionen
Hier ist wirklich schwer, was ich sagen soll, da das Thema beliebig umfangreich gestaltet werden kann. Allgemein haben quadratische Funktionen die Form f(x)=ax^2+bx+c oder die Normalform f(x)=x^2+px+q. Dann gibt es noch die Scheitelpunktform f(x)=a(x-xs)^2+ys. Themen könnten wahrscheinlich sein, Nullstellenbestimmung, d.h. man setzt f(x)=0 und erhält dann eine quadratische Gleichung. Ein anderes Thema wäre die Bestimmung des Scheitelpunktes, wobei die Gleichung deshalb auf Scheitelpunktform gebracht werden muss, wo der Scheitelpunkt (xs,ys) direkt abgelesen werden kann. Am besten einfach fragen, was du genau erklärt haben willst.

Polynomdivision
Dieses Thema ist klassisch zum Verwirrung stiften, wenn die Methodik nicht genau genug erklärt wird.
Auf jeden Fall hast du zwei Polynome, die du teilen willst. Polynome sind Terme in einer Variablen mit beliebigen Potenzen, die höchste vorkommende Potenz wird Grad des Polynoms genannt. Die einzelnen Elemente eines Polynoms werden Monome genannt, z.B. 2x^3. Von den anderen Themen lässt sich erläutern: Polynome vom Grad 1 sind lineare Terme und Polynome vom Grad 2 sind quadratische Terme. Beispiele:

(1) x^5+2x^3-4x^2+4 -> Grad 5
(2) x^3-6x^2 -> Grad 3

Eine Polynomdivision lässt sich nur dann ausführen, wenn der Grad des Zählers gleich oder grösser ist als der Grad des Nenners (ansonsten muss man die sogenannte Partialbruchzerlegung durchführen, ein methodisch relativ anspruchsvolles Verfahren, das man in der Schule aber nicht kennenlernt). Wie ist nun konkret vorzugehen? Nehmen wir obiges Beispiel und teilen das Polynom (1) durch das Polynom (2). Man schreibt dies jetzt nicht als Bruch, sondern wie in der Grundschule als Teilungsoperation:

(x^5+3x^3-2x^2+4) : (x^3-6x^2) =

Als erstes teilt man das Monom mit der höchstens Potenz des Zählers, hier x^5 durch das Monom der höchstens Potenz des Nenners, also x^3 und erhält deshalb x^2 (weil x^5 : x^3 = x^(5-3) = x^2, falls dir das nicht klar ist, unbedingt nochmals die Potenzregeln nachschlagen). Dieses erste Lösungsmonom wird anschliessend mit dem GANZEN Nenner rückmultipliziert und unter den Zähler geschrieben. Der resultierende Term wird dann vom Zähler abgezogen (Klammer und minus davor setzen) und wie zu Grundschulzeiten ebenso untendran hingeschrieben:

(x^5+3x^3-2x^2+4) : (x^3-6x^2) = x^2
-(x^5-6x^4) (rückgerechnetes abziehen)
6x^4+3x^3-2x^2+4 (neuer Zähler)

Das wichtigste hierbei ist, dass man nun einen neuen Zähler erhalten hat, dessen Grad niedriger ist als derjenige des alten Zählers. Mit diesem neuen Zähler kann man wieder dasselbe Verfahren durchführen, bis der Grad kleiner wird als der Grad des Nenners. Dieses Übrigbleibsel kann dann als Restbruch hingeschrieben werden:

(x^5+3x^3-2x^2+4) : (x^3-6x^2) = x^2+6x+39
-(x^5-6x^4) (rückgerechnetes abziehen)
6x^4+3x^3-2x^2+4 (neuer Zähler)
-(6x^4-36x^3) (rückgerechnetes abziehen)
39x^3-2x^2+4 (neuer Zähler)
-(39x^3-234x^2) (rückgerechnetes abziehen)
232x^2+4 (neuer Zähler, STOPP, weil Grad kleiner Nennergrad!)

Das Resultat ist dann ganz einfach x^2 + 6x + 39 + (232x^2+4)/(x^3-6x^2)
Der Restbruch lässt sich dann nicht mehr so einfach zerlegen, obwohl dies wie angetönt mit Partialbruchzerlegung möglich wäre. Ach ja, falls der neue Zähler irgendwann null werden wird, heisst dass, die Polynomdivision ist restlos aufgegangen. Möglich, dass in der Schule in erster Linie solche Aufgaben drankommen werden.

EDIT: Noch eine weitere Ergänzung: Wenn der neue Zähler denselben Grad hat wie der Nenner ist es gut möglich, dass sie identisch oder Vielfache voneinander sind. Beispiel Zähler x^2+3x+2 und Nenner 5x^2+15x+10. Sowas muss man quasi selbst erkennen. Ist dies der Fall, dann kann der Faktor ausgeklammert und das Polynom weggekürzt werden. Das würde in unserem Fall so aussehen: (x^2+3x+2)/(5(x^2+3x+2)) = 1/5.
Bei einer Identität würde es trivialerweise eine 1 geben.


Fragen?

[Italian Dream]

Hey...Also Fragen stellen. Ich sag mein Hauptproblem ist das ich den Rechenweg bei den meisten Aufgaben nicht verstehe. Also ich sehe eine Aufgabe, im prinzip wüsste ich wie man die löst aber sobald ich anfange verstehe ich nix mehr.
Ich habe jetzt mal die 3 Mathe Arbeiten ausgepackt, die wir im Lauf des Jahres geschrieben haben. Wenn ich die Aufgaben mal reinstelle, könntet ihr mir dann anhand der Aufgaben den Rechenweg erklären ?
Also hier sind die Aufgaben: ("= lückenfüller)

1.Arbeit:

1. 5-(10-8*3):10

2. 1 1/2 + 3 3/4 * 2 1/5 da habe ich wohl falsch gekürzt, denn bei mir kommt 231 raus.

3. x^5 :2
''''''''''''''x³

4. y²*10y*(-1/2 y^5)
""""""""""""y+y

5. (Binomische Formeln) (5x-1/2)^11
""""""""""""""""""""""""""(5x-1/2)^9

6. 1/2(x²-x+5)

7. (5x-4)*(2x+3)-(x-1/2)*(x-6)

[TheBiber]

Ok, die Aufgaben, die du stelltest gehören zu den bereits von mir erwähnten Methoden der elementaren algebraischen Umformungen. Es ist klar, dass diese für die von dir anfangs erwähnten Themen grundlegend wichtig sind.

Du sagst, du wüsstest prinzipiell, wie man die Aufgaben löst, aber beim Rechenweg Probleme bekommst. Deshalb werde ich die Aufgaben schrittweise einmal vorlösen und erklären, wieso man es macht und welche Gesetze man hier anwendet.

Die Darstellung hier ist allerdings manchmal problematisch. Insbesondere beim Bruchstrich werde ich anstelle von
blabla
''''''bla
einfach (blabla)/(bla) verwenden. Sollte hoffentlich kein Problem sein.

1. 5-(10-8*3):10

Dies ist an sich pure Arithmetik, in erster Linie wird hier die Regel Klammer- vor Punkt- vor Strichrechnung angewendet.
Hierbei wird der Term in der Klammer zuerst ausgerechnet, wobei wiederum Punkt- vor Strichrechnung angewandt wird:
5-(10-8*3):10 = 5-(10-24):10 = 5-(-14):10 = 5+14:10

Zuletzt wurden die Rechenregeln für negative Zahlen verwendet:
-(-) = +
-(+) = -
+(-) = -
+(+) = +

Anschliessend normal Punkt- vor Strichrechnung. Bei der Division kann das Ergebnis als unechter Bruch, echter Bruch oder Dezimalbruch dargestellt werden:
5+14:10 = 5+7/5 oder = 5+1 2/5 oder = 5+1.4

Den unechten Bruch erhält einfach durch Kürzen. Den echten Bruch, indem man beim Nenner solange fünf abzieht und eine 1 vorhehin schreibt, bis der Bruch echt wird. Den Dezimalbruch erhält man normal durch schriftliche Divison.

Ebenso lässt sich das Ergebnis verschieden darstellen, die drei Rechnungen verwenden leicht andere Methoden:
6.4 oder 6 2/5 oder 32 /5

Ich kann natürlich nicht abschätzen, wie stark du mit all den Rechenmethoden vertraut bist.

2. 1 1/2 + 3 3/4 * 2 1/5

Aus reiner Erfahrung ist anzumerken, dass das Rechnen mit echten Brüchen ungemein kompliziert ist, insbesondere ist deren Interpretation nicht eindeutig. In erster Linie sollten also alle Brüche umgeschrieben werden:
1 1/2 + 3 3/4 * 2 1/5 = 3/2 + 15/4*11/5
Anschliessend wieder Punkt- vor Strichrechnung. Brüche werden multipliziert, indem man Zähler und Nenner seperat multipliziert, insbesondere dürfen Bruchprodukte beliebig gekürzt werden. Dies ist zu empfehlen, da Kürzen die Rechnung stets vereinfacht:
3/2 + 15/4*11/5 = 3/2 + 3/4*11/1 = 3/2 + 33/4

Um Brüche zu addieren, müssen sie gleichnamig gemacht werden. Das kgV von 2 und 4 ist 4. Der erste Bruch muss also mit 2 erweitert werden, der zweite kann so belassen werden. Eine andere Methode wäre einfach irgendein gemeinsames Vielfaches der Nenner zu wählen und am Ende wieder zu kürzen. Diese Methode ist umständlicher, man braucht sich allerdings nicht das kgV zu überlegen. Dennoch nehme ich erste Methode:

3/2 + 33/4 = 3/2*2/2 + 33/4 = 6/4+ 33/4 = 39/4

Das Ergebnis lässt sich nicht kürzen. Es kann aber wieder in einen echten Bruch oder Dezimalbruch umgeschrieben werden, hängt davon ab, in welcher Form das Resultat gewünscht ist:
39/4 = 9 3/4 = 9.75.

Leider kann ich bei deinem Resultat von 231 nicht überprüfen, wo der Fehler liegt, wenn du deinen eigenen Rechenweg nicht mitgeteilt hast. Von Auge seh ich ihn nämlich gerade nicht.

3. x^5 :2
''''''''''''''x³

Wie gesagt verwende ich die Schreibweise (x^5:2)/(x^3)
Hier ist der Trick, den Doppelbruch zu erkennen: ((x^5)/(2))/(x^3), die Klammern sind wichtig, um zu wissen, welche Division zuerst ausgeführt wird! Man kann es auch ohne Klammern schreiben, sollte aber dann den äusseren Bruch durch einen fetteren oder längeren Strich kennzeichnen.

Bei Doppelbrüchen kann man salopp auf die folgende Formel zurückgreifen ((a)/(b))/((c)/(d)) = ((a)*(d))/((b)*(c)), man kann sich merken, das die Elemente, die weiter vom dicken Bruchstrich weg sind, den neuen Zähler bilden, während die Elemente nahe am dicken Bruchstrich den neuen Nenner bilden.

Auf obige Aufgabe bezogen muss man für diese Formel (x^3) auffassen als ((x^3)/1).

Gemäss Formel erhält man a = x^5, b = 2, c = x^3, d = 1 und damit:
((x^5)/(2))/((x^3)/1) = ((x^5)*1)/(2*x^3) = (x^5)/(2x^3)

Anschliessend kann man gemäss der Potenzregel x^5 / x^3 = x^(5-3) = x^2
einfach kürzen:
(x^5)/(2x^3) = (x^2)/2

Fertig.

4. y²*10y*(-1/2 y^5)
""""""""""""y+y

Ist anders geschrieben wiederum (y^2*10y*(-1/2*y^5))/(y+y).
Auch hier gilt in erster Linie Klammer- vor Punkt- vor Strich:
(y^2*10y*(-1/2*y^5))/(y+y) = (y^2*10y*(-y^5 / 2)/(2y) = (-5y^8)/2y

Beim letzten Schritt hab ich wiederum die Potenzregel y^2*y*y^5=y^2*y^1*y^5=y^(2+1+5)=y^8 verwendet. Die gewöhlichen Zahlen können alle seperat zusammenmultipliziert werden, ebenso kommt das Minus einmal als Faktor vor und bleibt somit erhalten.
Am Ende werden wieder Potenzregel angewendet:
(-5y^8)/2y = -5y^7 / 2 = -5/2*y^7 = -2.5*y^7

Es stellt sich wiederum die Frage nach der Darstellung des Resultats, weshalb ich wieder mehrere Möglichkeiten hingeschrieben habe.

5. (Binomische Formeln) (5x-1/2)^11
""""""""""""""""""""""""""(5x-1/2)^9

Wie du richtig geschrieben hast, handelt es sich hier um die binomischen Formeln. Da aber die Klammer im Zähler und im Nenner gleich ist, ist dringend angeraten, erst einmal die Potenzregel anzuwenden, um zu kürzen. Dann sieht das Ergebnis nämlich um einiges einfacheraus:
((5x-1/2)^11)/((5x-1/2)^9) = (5x-1/2)^(11-9) = (5x-1/2)^2.

Jetzt lassen sich die binomischen Formeln bequem anwenden. Sie lauten bekanntlich:
(1) (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(2) (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(3) (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Offensichtlich haben wir es hier mit dem Fall (2) zu tun. Angewendet ergibt:

(5x-1/2)^2 = (5x)^2-2*5x*1/2+(1/2)^2
Beim potenzieren muss jeder Faktor einzeln potenziert werden. Der Summand in der Mitte kann normal zusammengefasst und geordnet werden. Das ergibt:

(5x)^2-2*5x*(1/2)+(1/2)^2 = 25x^2-5x + 1/4

Auch hier kann man das Ergebnis wieder umschreiben mit Dezimalbrüchen, aber ich lass dies vorerst mal.

6. 1/2(x²-x+5)

Hier ist nicht eindeutig was gemeint ist. Meinst du 1/2 * (x^2-x+5) oder meinst du 1/(2(x^2-x+5)).

Auf jeden Fall geht es hier um die Anwendung des Distributivgesetzes:
a*(b+c) = ab+ac

Für beide Fälle ergibt dies:

1/2 * (x^2-x+5) = x^2 / 2 - x/2 + 5/2

1/(2(x^2-x+5)) = 1/(2x^2-2x+10)

7. (5x-4)*(2x+3)-(x-1/2)*(x-6)

Hier wird man die erweiterte Form des Distributivgesetzes anwenden müssen:
(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)= ac+ad+bc+bd

Ich gehe nicht näher darauf ein, sondern rechne einfach durch, wichtig ist es, die Klammer zu setzen! Die Rechnung solltest du mit dem Wissen, dass ich hier präsentiert habe, nachvollziehen können:

(5x-4)*(2x+3)-(x-1/2)*(x-6) = (10x^2+15x-8x-12) - (x^2-6x-1/2*x+3)

Der weitere Weg wäre wieder Klammer- vor Punkt- vor Strichrechnung. Da aber die Klammern nicht ausgerechnet werden können, muss man sich den Klammerregeln bedienen, um die Klammern aufzulösen. Vorher können aber noch gleichartige Summanden innerhalb der Klammern zusammengefasst werden:

(10x^2+15x-8x-12) - (x^2-6x-1/2*x+3) = (10x^2+7x-12) - (x^2-5.5x+3)

Die Klammerregeln funktionieren so, dass wenn ein Plus oder nichts vor der Klammer steht, diese weggelassen werden kann. Für die erste Klammer ist dies der Fall. Steht hingegen ein Minus vor der Klammer, wie hier in der zweiten Klammer, dann kann man diese weglassen, wenn man sämtliche Vorzeichen umkehrt, wobei darauf zu achten ist, dass kein Vorzeichen automatisch für ein Plus steht:

(10x^2+7x-12) - (x^2-5.5x+3) = 10x^2+7x-12 -x^2+5.5x-3

Anschliessend wieder gleichartige Summanden zusammenfassen:

10x^2+7x-12 -x^2+5.5x-3 = 9x^2+12.5x-15

Arbeitstechnisch empfiehlt es sich, beim vorherigen Term die Summanden zu unterstreichen, die man bereits berechnet hat. Dies mag hier überflüssig erscheinen, bei langen Termen ist es aber unumgänglich für die Übersichtlichkeit.


Nebenbei, ich erhebe keinen Anspruch auf Fehlerfreiheit. Falls du Fehler siehst oder etwas nicht verstehst, mach mich darauf aufmerksam und frag unbedingt nach.

[Loxagon]

Oje ... Schriftlich kann ich das leider nur schwer erklären. Mündlich ist das einfach. Gleichungen egal wieviel unbekannte solangs nicht unbedingt hochkomplexe Brüche sind, PQ, Polynomdivision, Kurvendiskussion etc. sind eigendlich sehr einfach. Das Problem dass ich gemacht habe ich halt: Ist der Lehrer im Erklären eine Null wirst du kaum etwas verstehen. Gleichungen hast du im Prinzip schon in Klasse 1 !

Du kennst doch sicher doch die lustigen leeren Köstchen [] <-- So ähnlich sehen die aus.

[] + 2 = 4

So Aufgaben gabs damals schon in Klasse 1. Nur wollte man da noch nicht wissen wieso die "Unbekannte" eigendlich 2 ist. DAS kam in Klasse 8.

Solltest du zufällig aus Mülheim Ruhr kommen können wir uns gerne mal zusammensetzen. Habe zwar nicht mehr alles sofort im Kopp, aber wenn ich drübersehe gehts wieder.

[Italian Dream]

Alsobei der Aufgabe mit mit Bruch bin ich auf die 231 gekommen, weil ich so vorgegangen bin :

1 1/2 +3 3/4 * 2 1/5 = 3/2 + 15/4 * 11/5 = 30/20 + 75/20 * 44/20
=300/200+750/200 * 440/200, und da kamm dann halt 231 raus. Bei deiner
Lösung habe ich aber nicht ganz verstanden wo ich den Fhler gemacht habe.

Ok den rest habe ich glaube ich soweit soweit verstanden, hier mal die letzten Aufgaben, ich mache direkt 2 Arbeiten rein wenn das Ok ist .
Aber erstmal kurz was anderes. In dem Buch das ich habe sind Übungsaufgaben und Im Register die Lösungen. Die Aufgaben mache ich alle und schau dann nach ob die richtig sind, bis jetzt habe ich Übungsaufgaben zum Schnittpunktes mit der y Achse, Umformung das Aufgaben das Schema y=ax+b haben und Schnittpunkt mit der x Achse . Damit hatte ich bis jetzt auch nicht wirklich so Probleme, nur jetzt ist da die Aufgabe
y - 2/7=-4x . In den Lösungen steht 1/14 , nur wie die darauf kommen weiss ich nicht. x muss ja wenn man den schnittpunkt der x achse ausrechnet -a/b sein, das ist mir schon bewusst, aber egal wie ich das mache ich komme nicht auf 1/14. Hmm...

Naja hier mal die nächsten Aufgaben :

Fakorisieren
1. 16ab-24ay+4az / 20b²-30by+5bz
2. x²-1/x²+2x+1
3. 15a+15b/5a²-5b² , da hatte ich 15*(a+b)/5*(a²-b²) raus, wusste von da an aber irwie nicht wie es weitergeht.

Divideren, ich glaube hier ist das Polynom Division oder ?

(x^4+5x³-16x²+7x-6) : (x-2)

Da wusste/weiss ich gar nichts von und verstehe den Rechenweg komplett nicht.

in der nächsten Arbeit ging es dann um Lineare Funktionen

1.Eine Gerade verläuft durch die Punkte P1 (--2,5/6) und P2 (2/-3)
a.Berechnen sie die Steigung m=^y/^x ( die ^ sollen so dreiecke sein)
b. Berechnen sie die Funktionsgleichung y=f(x)= mx+b
c.Berechnen sie die Nulsstelle der Funktion .

2.Eine Gerade schneidet die x Achse bei x=4 und besitzt den Steigungsfaktor m=-2. Ermitteln sie die Funktionsgleichung.

3. Berechnen sie den Schnittpunkt S der beiden Funktionen mit
f1(x) = -1/5x+4 und f2(x)=2/5x+5,5.
Zeichnen sie beide Graphen und markieren sie den schnittpunkt S.

4.Die gerade g1 verkläuft durch p1(-4/0) und p2 (-1/1)
Die Gerade g2 schneidet g1 rechtwinklig in p2.
a.Berechnen sie die Funktionsgleichung der Geraden g2
b.Zeichnen sie beide Graphen in ein Koordinaten system.

5.Parallel zu g1 mit f1(x)= 5x-8 verläuft eine 2. Gerade g2 durch A (2/6).
Berechnen sie die Funktionsgleichung für g2.

Bei der letzten Aufgabe sollte man dann aus einem Koordinaten sytsem zu jeder Gerade eine Funktionsgleichung bestimmen , hab das mal eingescannt :



da verstehe ich nicht wie man das ablesen soll.


so ich denke das waren so ziemlich alle arten von aufgaben die vorkommen können. Aber ein anderes Problem ist das ich dazu noch mündliche Prüfung habe, nur was kann da denn vorkommen ? Kopfrechnen ? Fachbegriffe ?

[caius.cosades]

Erstmal nur zu der ersten Arbeit:

1 1/2 +3 3/4 * 2 1/5 = 3/2 + 15/4 * 11/5 = 30/20 + 75/20 * 44/20
=300/200+750/200 * 440/200, und da kamm dann halt 231 raus.

...

Rechne doch mal ganz pragmatisch "punkt vor Strich". Dann steht da 3/2 + (15 * 11)/(4 * 5) = 3/2 + 165/20.

Dann musst du das, wie du oben schon richtig angefangen hast, gleichnamig machen - gibt (30+165)/20 bzw. 195/20 = 9,75.

ist da die Aufgabe y - 2/7=-4x . In den Lösungen steht 1/14 , nur wie die darauf kommen weiss ich nicht. x muss ja wenn man den schnittpunkt der x achse ausrechnet -a/b sein, das ist mir schon bewusst, aber egal wie ich das mache ich komme nicht auf 1/14. Hmm...

...

Umgeformt auf diese Form, macht das y=-4x+2/7. Allerdings verstehe ich dann da das mit dem -a/b nicht - wir haben für die Nullstellenberechnung (was ja faktisch gefordert ist) immer y=0 gesetzt und dann nach x aufgelöst, was auf x=1/14 führt. Wo hast du das denn mit dem -a/b her, und soll man das wirklich auf lineare Gleichungen anwenden können?

Fakorisieren
1. 16ab-24ay+4az / 20b²-30by+5bz
2. x²-1/x²+2x+1
3. 15a+15b/5a²-5b² , da hatte ich 15*(a+b)/5*(a²-b²) raus, wusste von da an aber irwie nicht wie es weitergeht.

...

Ich geh mal nur auf die 3. Aufgabe ein: Hier musst du erkennen, dass da noch eine binomische Formel dabei ist. Sowas wird dir im übrigen immer wieder über den Weg laufen - halt die Augen danach auf . Das (a²-b²) im Nenner genügt der 3. binomischen Formel, und man kann (a+b) in Zähler und Nenner kürzen. Übrig bleibt 3/(a-b).

Divideren, ich glaube hier ist das Polynom Division oder ?

(x^4+5x³-16x²+7x-6) : (x-2)

...

Richtig erkannt - Polynomdivision. Dabei ordnest du als erstes Dividend und Divisor absteigend nach den Potenzen - ist in der Aufgabe freundlicherweise schon gemacht worden. Dann nimmst du jeden Summanden des Dividenden und teilst sie durch den ersten Summanden des Divisors. Das Ergebnis dieser Operation schreibst du hinter das Gleichheitszeichen und multiplizierst danach den ganzen Divisor mit diesem Ergebnis. Das Resultat hiervon schreibst du wie beim schriftlichen Dividieren unter den Dividenden. Nun ziehst du das Resultat vom Dividenden ab und erhälst einen neuen Term, mit dem du genauso verfährst - ersten Summanden durch x teilen, etc. Das wiederholst du solange, bis du beim Subtrahieren keinen Rest mehr erhälst.

Heißt am von dir genannten Beispiel:
(x^4) / x = x³ -> dann also x³ * (x-2) = x^4 - 2x³; das ziehst du vom Dividenden ab.
(x^4+5x³-16x²+7x-6) - (x^4 - 2x³) = 7x³-16x²+7x-6 -> Das 7x³ teilst du wieder durch x

(7x³) / x = 7x²
7x² * (x-2) = 7x³-14x²
(7x³-16x²+7x-6) - (7x³-14x²) = -2x²+7x-6

(-2x²) / x = -2x
-2x * (x-2) = -2x²+4x
(-2x²+7x-6) - (-2x²+4x) = 3x-6

3x / x = 3
3 * (x-2) = 3x-6
(3x-6) - (3x-6) = 0

Übrig bleibt das, was du immer in der ursprünglichen Aufgabe hinter das Gleichheitszeichen geschrieben hast, als Ergebnis, hier also x²+7x²-2x+3.

Hoffe ich konnte helfen, ist sicherlich ein wenig kompliziert - Rückfragen sind immer willkommen.

Gruß caius

[TheBiber]

Alsobei der Aufgabe mit mit Bruch bin ich auf die 231 gekommen, weil ich so vorgegangen bin :

1 1/2 +3 3/4 * 2 1/5 = 3/2 + 15/4 * 11/5 = 30/20 + 75/20 * 44/20
=300/200+750/200 * 440/200, und da kamm dann halt 231 raus. Bei deiner
Lösung habe ich aber nicht ganz verstanden wo ich den Fhler gemacht habe.

...

Ich sehe selbst bei diesem Weg nicht, wie du da konkret auf 231 kommst. Aber wie schon erwähnt, ist der Weg unnötig umständlich. Erweitern solltest du wirklich nur dann, wenn du eine Addition durchführst. Nach der Punkt- vor Strichregel kommt hier aber erstmal die Multiplikation dran und erst danach die Addition. Mehr als mit 2 erweitern ist hier nicht notwendig und würde nur die Fehleranfälligkeit erhöhen.

Ok den rest habe ich glaube ich soweit soweit verstanden, hier mal die letzten Aufgaben, ich mache direkt 2 Arbeiten rein wenn das Ok ist .
Aber erstmal kurz was anderes. In dem Buch das ich habe sind Übungsaufgaben und Im Register die Lösungen. Die Aufgaben mache ich alle und schau dann nach ob die richtig sind, bis jetzt habe ich Übungsaufgaben zum Schnittpunktes mit der y Achse, Umformung das Aufgaben das Schema y=ax+b haben und Schnittpunkt mit der x Achse . Damit hatte ich bis jetzt auch nicht wirklich so Probleme, nur jetzt ist da die Aufgabe
y - 2/7=-4x . In den Lösungen steht 1/14 , nur wie die darauf kommen weiss ich nicht. x muss ja wenn man den schnittpunkt der x achse ausrechnet -a/b sein, das ist mir schon bewusst, aber egal wie ich das mache ich komme nicht auf 1/14. Hmm...

...

Bei der Bestimmung des Schnittpunktes solltest du keine Formeln anwenden, da diese zuwenig flexibel sind in dieser Hinsicht. Insbesondere stimmt -a/b nicht, wenn man sie auf y=ax+b anwendet.

Um den Schnittpunkt mit der x-Achse auszurechnen, musst du lediglich y=0 setzen und die Gleichung nach x auflösen. Für die allgemein Form y=ax+b sieht das so aus:

0 = ax+b
-b = ax
-b/a = x

Im Beispiel y-2/7=-4x ergäbe dies:

0-2/7=-4x
-2/(7*4)=-x
-2/28=-x
1/14=x

Naja hier mal die nächsten Aufgaben :

Fakorisieren
1. 16ab-24ay+4az / 20b²-30by+5bz

...

Beim Faktorisieren ist der Trick, dass man bei den einzelnen Summanden die gleichen Faktoren erkennt. Beim Zähler sieht man schonmal das a. Ebenso haben 16, 24 und 4 den gemeinsamen Faktor 4. Um dies einzusehen hilft oft, sich die Zahl als Primfaktoren vorzustellen und den ggT herauszufinden: 16=2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 4=2*2.

Die drei Zahlen haben also den ggT 2*2=4.

Beim Nenner sieht man ebenso, dass 5 der ggT ist (da 20 und 30 durch 5 teilbar sind), und man erkennt, dass noch ein b ausklammerbar ist.

Man erhält:
16ab-24ay+4az / 20b²-30by+5bz = 4a(4b-6y+z) / 5b(4b-6y+z)

Und wie es der Aufgabensteller wohl wollte, sieht man hier, dass beide Klammern gleich sind und deshalb weggekürzt werden können. Das Ergebnis ist:

4a(4b-6y+z) / 5b(4b-6y+z) = 4a / 5b

2. x²-1/x²+2x+1

...

Was hier zu tun ist, ist echt schwer zu sagen, da man hier durch Umordnen fast schon beliebige binomische Formeln anwenden kann:

x²-1/x²+2x+1 = (x+1/x)(x-1/x) +2x+1
oder
x²-1/x²+2x+1 = x²+2x+1-1/x² = (x+1)² +1/x²

Ich wüsste nicht, was hier verlangt ist genau, dafür würde ich den Lehrer lynchen. ^^
Auf die binomischen Formeln komme ich aber noch zurück.

3. 15a+15b/5a²-5b² , da hatte ich 15*(a+b)/5*(a²-b²) raus, wusste von da an aber irwie nicht wie es weitergeht.

...

Wie schon erwähnt, musst du hier erkennen, dass im Nenner ein Term mit zwei quadraten und damit eine binomische Formel vorhanden ist. Wie erkennt man dies? Allgemein, sobald du irgendetwas siehst, was vorne und hinten in allen Formen quadriert ist, überprüfe, ob es sich um eines der folgenden Muster handelt:
a²-b²
a²+2ab+b²
a²-2ab+b²

Dann kann man die binomischen Formeln rückwärts anwenden.

Divideren, ich glaube hier ist das Polynom Division oder ?

(x^4+5x³-16x²+7x-6) : (x-2)

Da wusste/weiss ich gar nichts von und verstehe den Rechenweg komplett nicht.

...

Hmm, caius Erklärungen sind diesbezüglich sehr gut. Viel mehr können wir fast nicht mehr tun. Bei Polynomdivision hilft Übung am meisten. Führe einige durch und poste hier deinen Rechenweg, wenn du etwas nicht verstehst.

in der nächsten Arbeit ging es dann um Lineare Funktionen

1.Eine Gerade verläuft durch die Punkte P1 (--2,5/6) und P2 (2/-3)
a.Berechnen sie die Steigung m=^y/^x ( die ^ sollen so dreiecke sein)
b. Berechnen sie die Funktionsgleichung y=f(x)= mx+b
c.Berechnen sie die Nulsstelle der Funktion .

...

Ok, diese Aufgabe ist Standard: Du weisst, zwei Punkte definieren eine Gerade. Die Dreiecke ^ bezeichnen das griechische grosse Delta Δ. Es bedeutet nichts anderes als Differenz. Δy heisst also Differenz von zwei y, also das eine y minus das andere y. Deshalb lässt sich die Steigung so schreiben:

m = Δy / Δx = y2-y1 / x2-x1

Mit x1 und y1 sind die Koordinaten des einen Punktes und mit x2 und y2 die Koordinaten des anderen Punktes gemeint. Du brauchst also nur diese Zahlen einzusetzen:

m = Δy / Δx = y2-y1 / x2-x1 = (-3 - 5/6) / (2 - (-2)) = -23/24

Kommen wir nun zur Funktionsgleichung y = f(x) = mx+b. m haben wir ja jetzt berechnet, also ergibt sich nun y = -23/24 *x+b. Fehlt nur noch das b. Das erhalten wir wie gesagt durch Einsetzen eines beliebigen Punktes, der auf der Gerade liegt. Ich nehme P2(2,-3), weil dieser einfacher zum Rechnen ist:

-3 = -23/24 *2+b
-3 = -23/12 + b
-3+23/12 = b
-36/12+23/12 = b
-13/12 = b

Die Funktionsgleichung lautet also f(x) = -23/24 x -13/12.

Jetzt ist noch nach der Nullstelle gefragt. Nullstellen sind diejenigen Stellen der x-Achse, wo die Gerade geschnitten wird. Wie schonmal erwähnt, erhält man sie, indem man y=0 setzt:

0 = -23/24 x - 13/12
13/12 = -23/24 x
26 = -23x
-26/23 = x

2.Eine Gerade schneidet die x Achse bei x=4 und besitzt den Steigungsfaktor m=-2. Ermitteln sie die Funktionsgleichung.

...

Bei solchen Aufgaben immer zuerst die allgemeine Funktionsgleichung hinschreiben: y=mx+b. Da die Steigung m=-2 ist, kommt man sofort auf:

y=-2x+b

Nun weiss man, dass die Gerade die x-Achse bei x=4 schneidet. Der Schnitt mit der x-Achse bedeutet wie gesagt y=0. Daraus ergibt sich:

0=-2*4+b
8=b

Die Funktionsgleichung lautet also: y=-2x+8.

3. Berechnen sie den Schnittpunkt S der beiden Funktionen mit
f1(x) = -1/5x+4 und f2(x)=2/5x+5,5.
Zeichnen sie beide Graphen und markieren sie den schnittpunkt S.

...

Den Schnittpunkte zweier Funktionen lässt sich berechnen, indem man beide Funktionen gleich setzt. Der Grund dafür ist, dass der Schnittpunkt S(x,y) beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen muss, d.h. y und x ist in beiden Gleichungen dieselbe Zahl. Dies führt zu:

-1/5 x+4 = 2/5 x+5.5
-1.5 = 3/5 x
-2.5 = x

Den y-Wert erhält man dann durch einsetzen von x in eine der beiden Gleichungen:

y = -1/5*(-2.5)+4 = 0.5+4 = 4.5.

Der Schnittpunkt ist also S(-2.5 , 4.5).

4.Die gerade g1 verkläuft durch p1(-4/0) und p2 (-1/1)
Die Gerade g2 schneidet g1 rechtwinklig in p2.
a.Berechnen sie die Funktionsgleichung der Geraden g2
b.Zeichnen sie beide Graphen in ein Koordinaten system.

...

Hier muss man wissen, was rechtwinklig formal bedeutet. Zwei Geraden sind rechtwinklig zueinander, wenn deren Steigungen der negative Reziprokwert entspricht. Das bedeutet, wenn man von der einen Steigung das Vorzeichen umkehrt, und Zähler und Nenner der Steigung vertauscht, erhält man die Steigung der rechtwinkligen Geraden. Von g2 haben wir bis auf weiteres keine Informationen. Bei g1 hingegen haben wir zwei Punkte gegeben, so dass wir die Steigung berechnen können:

m = Δy / Δx = y2-y1 / x2-x1 = (1 - 0) / (-1 - (-4)) = 1/3.

Kehren wir das Vorzeichen und tauschen Zähler und Nenner aus erhalten wir -3/1, also -3 für die Steigung von g2.

Die Gleichung für g2 sieht also vorerst so aus: y = -3x + b. Um das b zu bestimmen, müssen wir die Information benutzen, dass der Schnittpunkt bei p2 liegt, also bei (-1 , 1). Die Koordinaten können wir einmal mehr einfach einsetzen:

1 = -3*(-1)+b
-2=b

Die Gleichung für g2 lautet also y = -3x-2.

Um die Geraden in ein Koordinatensystem zu zeichnen, braucht man diese Ergebnisse allerdings nicht. g1 zeichnet man, indem man beide gegebenen Punkte miteinander verbindet und g2 erhält man, indem man eine senkrechte in p2 dazu zeichnet, z.B. mit Geodreieck. Es empfiehlt sich, diesen Aufgabenteil zuerst zu lösen, da Zeichnen meist etwas weniger aufwendig ist als Rechnen, zudem hast du da bereits ein anschauliches Resultat, womit du die Rechnung überprüfen kannst.

5.Parallel zu g1 mit f1(x)= 5x-8 verläuft eine 2. Gerade g2 durch A (2/6).
Berechnen sie die Funktionsgleichung für g2.

...

Auch hier gilt ein einfaches Prinzip: Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Für g2 ist also lediglich noch b unbekannt. Hierführ einfach wieder den Punkt A(2 , 6) einsetzen:

6 = 5*2 + b
-2 = b

Funktionsgleichung: y = 5x-2

Bei der letzten Aufgabe sollte man dann aus einem Koordinaten sytsem zu jeder Gerade eine Funktionsgleichung bestimmen , hab das mal eingescannt :



da verstehe ich nicht wie man das ablesen soll.

...

Das Patentrezept kennst du, wenn du Aufgabe 1 lösen konntest: 2 Punkte einer Geraden ablesen, daraus die Steigung berechnen und durch einsetzen einer der Punkte b berechnen, danach die Funktionsgleichung hinschreiben.

Nichtsdestotrotz geht es hier viel einfacher: b bezeichnet nämlich IMMER den Schnittpunkt mit der y-Achse: Dieser lässt sich für alle Geraden sofort ablesen:

(1) b=4
(2) b=0
(3) b=1
(4) b=-4
(5) b=-2.75
(6) b=-4

Die Steigung hingegen muss normal berechnet werden. Auch funktionieren tut allerdings Häuschen zählen: Die Steigung ist definiert als Anzahl Häuschen nach oben geteilt durch Anzahl Häuschen durch rechts innerhalb des gleichen Abschnittes, auch Steigungsdreieck genannt. Horizontale Geraden haben stes die Steigung 0. Dazu gilt noch, dass steigende Geraden eine positive Steigung und fallende Geraden eine negative Steigung haben:

(1) m=3/4
(2) m=1
(3) m=1/4
(4) m=0
(5) m=-1
(6) m=-3

Daraus ergeben sich die Funktionsgleichungen:

(1) f(x) = 3/4 x +4
(2) f(x) = x
(3) f(x) = 1/4 x +1
(4) f(x) = -4
(5) f(x) = -x -2.75
(6) f(x) =- 3x -4

so ich denke das waren so ziemlich alle arten von aufgaben die vorkommen können. Aber ein anderes Problem ist das ich dazu noch mündliche Prüfung habe, nur was kann da denn vorkommen ? Kopfrechnen ? Fachbegriffe ?

...

Das Verstehen der Zusammenhänge ist bei mündlichen Prüfungen wichtiger als das Rechnen. Du solltest also wissen, was die Steigung bedeutet und wie man sie berechnet, was b bedeutet, wie man parallele und senkrechte Geraden beschreibt, etc. allgemein ist es bei mündlichen Prüfungen wichtiger, dass man die Formeln kennt und weiss, wie man bei Aufgaben vorgeht. Das konkrete Rechnen ist weniger relevant.

[Dhan]

Zur Polynomdivision:
(x^4+5x³-16x²+7x-6) : (x-2)

Die Vorgehensweise ist im Prinzip: Du willst erstmal die höchstens Potenzen "abbauen", in dem Fall das x^4
Daher schaust du: Was ist das größte, was malgenommen mit (x-2) ein Teil von x^4 + irgendwas ist
das ist offensichtlich x³, jetzt rechnest du (x-2)*x³ = x^4 - 2x³ und ziehst das vom Ursprungswert ab: (x^4+5x³-16x²+7x-6) - (x^4 - 2x³ ) = (7x³-16x²+7x-6)

So kommst du schonmal auf: (x^4+5x³-16x²+7x-6) = x³*(x-2) + (7x³-16x²+7x-6)

Nun gilt es das (7x³-16x²+7x-6) durch (x-2) zu teilen, wieder erstmal höchste Potenz angehen, also 7x³, dadurch kommen wir zu 7x²*(x-2) = 7x³-14x²
(7x³-16x²+7x-6) - (7x³-14x²) = (-2x²+7x-6)

Daher: (x^4+5x³-16x²+7x-6) = x³+*(x-2) + 7x²*(x-2) + (-2x²+7x-6)

Jetzt betrachten wir das (-2x²+7x-6) usw, was uns zu
(x^4+5x³-16x²+7x-6) = x³+*(x-2) + 7x²*(x-2) + -2x*(x-2) +3*(x-2) führt
klammern wir um:
(x^4+5x³-16x²+7x-6) = (x³+7x²-2x+3)*(x-2)
ist äquivalent zu
(x^4+5x³-16x²+7x-6)/(x-2) = (x³+7x²-2x+3)

Das sind die Gedanken dahinter. Auf dem Papier siehts so aus:

''(x^4+5x³-16x²+7x-6) : (x-2) = (x³+7x²-2x+3)
-(x^4 - 2x³ )
''''''''''''''(7x³-16x²+7x-6)
''''''''''''''-(7x³-14x²)
'''''''''''''''''''''''''(-2x²+7x-6)
'''''''''''''''''''''''''-(-2x²+4x)
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''(3x-6)
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''-(3x-6)
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''0
klarer?

[Italian Dream]

Hey Also was ihr alles geschrieben habt habe ich soweit alles verstanden, oder kann es jedenfalls nachvollziehen, abgesehen von dem von der Geraden ablesen", da blicke ich immer noch nicht so ganz durch.Nur wenn ich jetzt versuche so mein wissen auf andere bereiche anzuwenden klappt es nicht so ganz.
Da gibts die Aufgabe " Welche der folgenden Punkte liegen auf der angegebenen Geraden?"

y=2x-3
p1 (1/-1)
p2 (3/6)
p3 (2/1)
p4(-2/-7)
p5 (-4/3)
p6 (1/2 / -2)

[Vincent D. Vanderol]

Du mußt die Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen, wobei der erste Wert der Punkte eingesetzt wird (also anstelle des x eingesetzt) und der zweite Wert des Punktes das Ergebnis der Gleichung sein muß (also das y sein soll, da ein Punkt p immer die Koordinaten (x/y) hat).

Setzt du also Punkt p1 ein, setzte du x=1 und hast als Ergebnis 2*1-3 = 2-3 = -1 und oh Wunder, das steht ja beim Punkt p1 als zweiter Wert, also befindet sich der Punkt auf der Geraden. ^_-

Nu mach mal bei den anderen auch so

[Dhan]

Zum Ablesen der Gerade:
Erstmal, deine Gleichung hat die Form f(x)=mx+c wobei m und c feste Werte sind, vereinfachen wirs auf y=mx+c (ist so nicht ganz korrekt aber für Schulkrams passts allemal)

Jetzt musst du dir überlegen, was ist, wenn x=0? genau, dann ist y=c
d.h. (0|c) ist ein Punkt deiner Geraden
du suchst nun die Schnittstelle mit der y-Achse. Denn genau an diesem Schnittpunkt ist x gleich 0
d.h. der Wert, den y an genau dieser Stelle hat, das ist dein c

So, jetzt brauchen wir nur noch m.
m ist die Steigung der Geraden. Für eine Gerade gilt grundsätzlich:
Hast du zwei beliebige Punkte der Geraden, (x1|y1) und (x2|y2)
dann: m = Δx/Δy = (x1-x2)/(y1-y2)
Sagen wir also, du hättest z.B. die Punkte (3|1) und (5|2)
dann: m= (3-5)/(1-2) = -2/-1 = 2
Und die zwei Punkte kannst du am Graphen ja direkt ablesen, such dir einfach nen Punkt an dem die Linie auf einem Kreuzpunkt der Karolinien auf dem Blatt ist, schau nach, welchen x -und welchen y-Wert du da hast und schon hast nen Punkt.



Soa, ein bißchen schwerer ist es mit c falls c nicht "sauber" die y-Achse schneidet, sprich es sich um eine Kommazahl handelt. Wenn das der Fall ist -> erstmal m ausrechnen (das sollte zumindest 2 saubere Punkte ham)
wenn du m hast, setzt du einen beliebigen Punkt in deine Gleichung y=mx+c ein, löst nach c auf und zack hast du auch c

[Italian Dream]

Hey,

Danke das mit den Aufgaben hab ich jetzt schon ein bisschen besser verstanden. Also ich hab jetzt noch ein paar Aufgaben rausgesucht, mit denen ich nicht so gut zurechtkomme, das sind so die letzten Aufgaben zum Thema Lineare Funktionen.

Naja erstmal die bei der ich nicht verstehe was man genau machen muss, an den anderen versuche ich mich noch alleine.

´Bestimme die Gleichung der Geraden mit der Steigung m und demPunkt p(x/y)´
m= 2 p(1/-1)

[TheBiber]

Du gehst an sich vor wie beim Ablesen der Geraden: Du gehst immer von der Gleichung y=mx+c aus und schaust dann, wie du m und c bestimmen kannst.

m=2 hast du in diesem Fall ja schon gegeben:
y=2x+c

Um c zu berechnen, setzt du einfach mal den Punkt ein:
-1=2*1+c
c=-3

Führt also auf:
y=2x-3

[Totojo]

Ja öööh ich hab im moment auch ein paar Probleme in Mathe und ich schreibe es mal hier rein da ich ein ähnlisches Problem wie der Threaderöffner habe.

Also das Thema was wir im Moment haben ist Lineare Funktionen aber ich komme irgendwie nicht so ganz mit.

Hier ist mal eine Aufgabe:

Von einem Dreieck ABC kennt man die Eckpunkte A(3|1) und B(12,6|8,2) und den Schnittpunkt H(4|8) der Höhengeraden.
Bestimme rechnerisch den dritten Eckpunkt C des Dreiecks.

Kann mir einer sagen wie das geht? Am besten wie eine "Bedienungsanleitung" wo jeder Schritt erklärt wird.

Wäre echt dankbar für jede Hilfe.

[TheBiber]

Die Überlegung ist sicher einmal, dass man C als Schnittpunkt von mindestens 2 der 3 Geraden auffassen muss. Als Schnittgeraden kommen hc, a und b in Frage.
hc berechnet sich aus H und c, letzteres wiederum aus A und B.
a berechnet sich aus B und ha, wobei man dieses wiederum aus A und H gewinnen kann. Analoges gilt für die Berechnung von b.

Welche beiden der drei möglichen Geraden man nimmt, ist hier wohl Geschmackssache. Grundsätzlich braucht man hierzu folgendes Wissen:

Die Geradengleichung lautet: y=mx+b, gesucht sind immer die Steigung m und der y-Achsenabschnitt b.

Sind zwei Punkte gegeben, dann erhält man die Steigung, indem man die Differenz der y-Koordinaten durch die Differenz der x-Koordinaten teilt. Formal m = (y2-y1)/(x2-x1)
Den y-Achsenabschnitt erhält man, indem man von einem der beiden Punkte die Koordinaten in die Gleichung einsetzt und diese dann nach b auflöst.

Etwas anders ist das Vorgehen, wenn man die Gleichung für eine senkrechte Gerade zu einer anderen durch einen Punkt konstruieren möchte. Eine Gerade, die senkrecht ist zu einer anderen hat stets eine negative reziproke Steigung: m┴ = -1/m
Den y-Achsenabschnitt erhält man natürlich wieder, indem man den Punkt in die Gleichung einsetzt, durch den die senkrechte Gerade gehen soll.

Anschliessend noch was zum Schnittpunkt: Der Schnittpunkt zweier Geraden erhält man, indem man sie gleichsetzt. Hat man zwei Geraden
g1: y = m1x+b1
g2: y = m2x+b2

Dann setzt man sie gleich: m1x+b1 = m2x+b2

Man hat nun eine Gleichung, die man nach x auflösen kann. Eingesetzt in eine der beiden Geradengleichungen erhält man dann auch das y. Durch x und y ist dann der gesuchte Schnittpunkt eindeutig definiert.

Das sollte genügen, damit du die Aufgabe selbständig lösen kannst. Falls du Probleme bekommst oder etwas nicht klar ist, einfach wieder fragen.