schaffe Gleichung nicht

[Ray-Ban]

Hi Leute

Ich hab da eine Frage zu einer Gleichung, die für die kommende Matheprüfung elementar ist:

0=0.1x^3-2x+10

(^= "hoch")


Sicher, sie sieht ganz einfach und lösbar aus, ich hab's aber bis jetzt nicht geschafft (bin kein Hirsch in Mathe). Das Resultat sollte 3.3 (gerundet) sein, aber wie kommt man darauf?

(Bin sehr sehr froh um nachvollziehbaren Lösungsweg)

Thx

Euer Ray-Ban

[Titanim]

Erstmal eine Frage nebenbei, von einem, der von Mathe zwar auch keine Ahnung hat, aber vielleicht klappt es ja, aber zuerst muss ich eins wissen:

Heißt es: 0=(0.1x^3)-2x+10
oder heißt es: 0=0.1x^(3-2x+10)

Also ist nur dir drei Hochgenommen, oder ist alles, was hinter der drei kommt, auch noch hochzahl?

[TheBiber]

Heißt es: 0=(0.1x^3)-2x+10

...

Ich tippe mal eher auf diese Form. Doch die angegebene Lösung 3.3 stimmt definitiv nicht. Mein Computeralgebrasystem spuckt als reelle Lösung -6.6 aus, natürlich gibt es noch zwei komplexe Lösungen, aber die sind irrelevant für diese Stufe, ausser du machst einen Leistungskurs, was ich aber nicht denke, wenn du selbst sagst, nicht der Mathehirsch zu sein. Auf jeden Fall handelt es sich um eine kubische Gleichung ohne quadratisches Glied. Dafür gibt es verschiedene Lösungsrezepte, bei Wikipedia beispielsweise die Cardanischen Formeln. Allerdings bezweifle ich, dass ihr die komplexen Zahlen behandelt habt. Wenn du nicht einen Leistungskurs besuchst, würde ich mal sagen, dass du die Gleichung falsch abgetippt hast, denn sowas behandelt man nicht bei einem gymnasialen Mathe-Grundkurs.
Wenn du es nur approximativ machen willst, kannst du aber auch den Funktionsgraphen für y = 0.1x^3-2x+10 zeichnen, indem du verschiedene Werte für x einsetzt und y berechnest. Die x-Werte der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse sind dann Lösungen der Gleichung, da dort y = 0 gilt.

oder heißt es: 0=0.1x^(3-2x+10)

...

Sehr unwahrscheinlich, da Terme der Form x^x=0 gar nicht definiert sind.

[Drakes]

Also, was mir auffällt ist, dass es -6.05 gibt.(Hat mir mein voyage 200 ausgerechnet, und der weiss normalerweise, wovon er "rechnet") Kubische Gleichungen hab ich noch nicht gehabt, aber nach der Form hätte ich darauf getippt, dass du ^2 meinst, dann würde x aber gleich 10 sein. Irgendetwas kann nicht stimmen. Für Quadratische Gleichungen ist die Formel x= (b+-\|(b^2-4ac)|)/2a wobei a,b und c so abzulesen wären: ax^2+bx+c=0

[Hummelmann]

Ich seh irgendwie das Problem nicht?
Bei der Gleichung handelt es sich um ganz normale nullstellenberechung bei einer Funktion 3. Grades.
-6.05 kann ich bestätigen und stimmt auch mit dem Graphen überein.

[TheBiber]

Stimmt, ist -6.05, muss mich wohl vertippt haben.

Bei der Gleichung handelt es sich um ganz normale nullstellenberechung bei einer Funktion 3. Grades.

...

So ganz Trivial ist das in diesem Beispiel nicht wirklich, zumindest nicht auf algebraischem Weg.

Wie gesagt, das Problem ist wohl eher, dass die Aufgabe falsch abgetippt wurde, da 3.3 definitiv nicht stimmen kann.

[Aldinsys]

Stimmt, ist -6.05, muss mich wohl vertippt haben.



So ganz Trivial ist das in diesem Beispiel nicht wirklich, zumindest nicht auf algebraischem Weg.

Wie gesagt, das Problem ist wohl eher, dass die Aufgabe falsch abgetippt wurde, da 3.3 definitiv nicht stimmen kann.

...

Doch es ist recht trivial.
Da nur ungerade Potenzen auftreten, kann man auf Punktsymmetrie schließen.
Wenn man die Extrema der Funktion betrachtet, findet man heraus, dass es nur eine Nullstelle, und zwar bei besagtem x=-6,05 gibt.

[TheBiber]

Doch es ist recht trivial.
Da nur ungerade Potenzen auftreten, kann man auf Punktsymmetrie schließen.
Wenn man die Extrema der Funktion betrachtet, findet man heraus, dass es nur eine Nullstelle, und zwar bei besagtem x=-6,05 gibt.

...

Wenn es so trivial ist, dann erkläre, wie man ohne algebraischen Weg die Nullstelle exakt berechnen kann. Die Punktsymmetrie und die Extrema der Funktion sagen zwar aus, dass es nur eine Nullstelle gibt, aber die Nullstelle selbst lässt sich aus diesen Informationen alleine nicht bestimmen.

Mich würde noch interessieren, wie du und Hummelmann denn auf die Lösung kommen, ein bereits bekanntes Resultat zu wiederholen ist nicht unbedingt das, was der Threadersteller wollte.

[Strato]

Wenn es so trivial ist, dann erkläre, wie man ohne algebraischen Weg die Nullstelle exakt berechnen kann.

...

Da der Lösungsweg noch nicht gezeigt wurde, mach ich das mal ^^

Eigentlich fällt das ganze unter die Kategorie "Lösungsformel hinschreiben, einsetzen, fertig".

Die Gleichung ist bereits reduziert (d.h. ohne quadratischen Term), das spart Arbeit

Mit 10 multipliziert hat man

x^3 + ax + b = 0

mit a = -20
und b = 100

Code:

Diskriminante:
D = 1/27 * a^3 + 1/4 * b^2 =
  = 59500/27 >
  > 0

Da die Diskriminante positiv ist, gibt es nur eine reelle Lösung
(anders als bei der Diskriminante für quadratische Gleichungen).

Lösungsformel von Cardano für die reelle Lösung:

x = - [ ( b/2 - sqrt(D) )^(1/3) ] - [ ( b/2 + sqrt(D) )^(1/3) ] =
  = - [ ( 50 - sqrt(59500/27) )^(1/3) ] - [ ( 50 + sqrt(59500/27) )^(1/3) ]

Ausgerechnet ergibt das etwa -6,045

[TheBiber]

Jop, das wäre dann eben der algebraische Weg mit Hilfe der cardanischen Formeln. Meiner Meinung nach nicht wirklich trivial.

[Drakes]

Ich seh irgendwie das Problem nicht?

...

Das Problem war:

Das Resultat sollte 3.3 (gerundet) sein, aber wie kommt man darauf?

...

[Dhan]

Was aber offensichtlich falsch ist, einsetzen von 3.3 liefert 7 als Ergebnis.
Ich schätz ma, der Verlag vom Aufgabenbuch oder der Lehrer hat einfach nen Fehler gemacht, passiert.
Der richtige Lösungsweg wurd ja scho gepostet und -6kommanochwas funzt als Lösung auch, passt doch.

Wobei ich mich wundere, in der Schule kubische Gleichungen lösen? Quadratische gehn ja noch, wenn man die abc/pq-Formel nicht parat hat, kann man dat immer noch recht einfach berechnen aber die Formel für kubische Gleichungen kann man sich weder gut merken noch auf anderem Weg vorgehen und hier ist das Ergebnis nun wirklich nicht offensichtlich