Dann musst du logischerweise zuerst das Formular abfragen, und dann erst das Entsprechende ausgeben.
PHP-Code:
<?php
    
if (isset ($_POST['username']) &&
            isset (
$_POST['password']) &&
            
login_right ($_POST['username'], $_POST['password'])) {
        echo 
'Willkommen im Adminbereich';
    }
    else {
        if (isset (
$_POST['username']) && isset ($_POST['password']))
            echo 
'Login ungültig';
        
$pw '<form method="post" action="index.php">';
        
$pw.= '<input type="text" name="username">';
        
$pw.= '<input type="password" name="password">';
        
$pw.= '<input type="submit">';
        
$pw.= '</form>';
        echo 
$pw;
    }
?>
Die Funktionsdefinition habe ich ausgelassen, die ist ja eh klar.