Rein theoretisch könnte ich mir vorstellen, dass es auch hinhaut, wenn man erst die Stammfunktion bildet, allerdings müsstest du dann beachten, dass du eine verkettete Funktion hast, welche definitiv schwerer aufzuleiten ist, als die Reihe von Produkten, die du nach dem quadrieren hast. Allerdings ist das pure Annahme, da ich bisher immer erst quadriert habe.

Und zu deinem Rechenbeispiel:
( -3,75*x^4 + 15*x^2 )^2
= 225/16*x^8 - 112,5*x^6 + 225*x^4

Davon die Stammfunktion ist:
225/144*x^9 - 225/14*x^7 + 45*x^5

Wenn ich dafür nun die Grenzen 2 und 0 einsetze (wobei der Term bei 0 entsprechend gesamt 0 wird und deshalb vernachlässigt werden kann):
800 - 2057,14 + 1440 ~ 182,86
Diese dann nochmal mit Pi multipliziert und raus kommt ~574,47.