Cosinus-Formel

[Barney]

In der Schule haben wir momentan Trigonometrie und berechnen alles immer mit dem Taschenrechner, jetzt würde mich allerdings doch schon einmal interessieren, welche Formel der Taschenrechner anwendet, wenn er beispielsweise den Cosinus von einem Winkel ausrechnet (auf dem Taschenrechner ist das dieses "cos-1" Zeichen). Kann mir jemand eine Antwort geben? Bei Google finde ich nur was über Wertetabellen oder sowas, die wird der Taschenrechner ja wohl kaum benutzen.

[Jinjukei]

Hi Barney!
Nett, dass es dich interessiert!

Also wie du dir wahrscheinlich schon überlegt hast, muss ein TR ja irgendetwas tun um dir den Cosinus an einer Stelle auszuspucken, mit der Stelle die du vorgibst (manche TR können den Cosinus auch graphisch darstellen/plotten, was nichts anderes ist, als den Cosinus sehr oft an verschiedenen Stellen, also in einem Intervall, zu berechnen und die Werte die er ausspuckt mit den eingesetzten Werten zu vergleichen). Nun ja, dazu muss er ja erstmal wissen, was der Cosinus ist.
Der Cosinus heisst deswegen nur Cosinus (bzw. hat einen Namen) weil die eigentliche Funktion viel zu umständlich ist um sie aufzuschreiben. Sie ist nämlich eine Potenzreihe:
Und wie du siehst geht eine Potenzreihe über unendliche viele Terme. Nun kann ein Taschenrechner aber nicht unendlich viele Terme berechnen. Meiner hört zum Beispiel bei einer Genauigkeit von 10^-16 - 16 Stellen nach dem Komma auf (wobei das eigentlich auch von verschiedenen Sachen abhängt). Du kannst auch prüfen wann deiner aufhört.

Die Verfahren wie ein Rechner etwas berechnet wird in der Numerik besprochen. Dort werden Verfahren diskutiert, wie man mit möglichst wenig aufwand (!) (also nicht unendlich Werte berechnen) und einfachen Verfahren Sachen berechnen kann. Um Werte von Funktionen zu berechnen benutzt man die Interpolation. Man interpoliert also Funktionen. Dass heisst einfach sowas wie die Funktion annähern. Man ersetzt die Funktionen durch einfachere die diese in etwa beschreibt und wertet dann mit dieser die eigentliche Funktion aus. Es gibt verschiedene Verfahen um Funktionen anzunähern:

• Polynominterpolation
• Rationale Interpolation
• Spline Interpolation
• ...

Je nach Funktion sind die einen oder die anderen besser. Wenn du Lust hast auf solche Verfahren einzugehen, kann ich noch bisschen mehr schreiben. Der Taschenrechner verwendet wahrscheinlich Rationale Interpolation oder sogar Polynominterpolation, da der Cosinus ja als als unendliches Polynom zusammengesetzt ist.

[Barney]

Vielen Dank schonmal für die Antwort. Ich kann zwar mit den Begriffen leider nicht sonderlich viel anfangen, aber soweit ich das richtig verstehe, benutzt der Taschenrechner eine nicht ganz aber annähernd genaue, abgespeckte Funktion, um doch noch auf einen fast vollkommen korrekten Wert zu gelangen. Falls das soweit korrekt verstanden war, fände ich es prima, wenn du noch etwas genauer auf diese Verfahren, am besten ein nicht allzu kompliziertes (muss ja nicht soooo genau sein), eingehen würdest.

[Jinjukei]

Hast du eigentlich richtig verstanden, nur das es eben Verfahren sind, die dir soetwas berechnen und du nicht nur die Funktion (hier der Cosinus) einfach durch eine andere Funktion, die dir die Näherung berechnet, ersetzen kannst. In einzelnen Verfahren werden dir zwar Funktionen ausgespuckt, die dir die Näherung berechnet aber das ist nicht immer so.
Im Grunde hab ich dir aber gerade auch Müll erzählt, denn man benutzt um Funktionen zu berechnen eher keine Interpolation. Bei der Interpolation werden dir Wertepaare vorgegeben, für diese du dann eine Funktion findest. Die Funktion geht dann durch die Funktionswerte. Man nennt dann die Funktion interpoliert diese Werte. Man kann natürlich den Cosinus auch interpolieren, in dem man sagt, dass man weiss das bei x=2*pi*k cos(2*pi*k)=1 mit k=0,1,... gilt. Das ist aber sehr unwahrscheinlich, dass der TR so ein Verfahren anwendet.


Also eine Interpolation für den Cosinus als Annäherung ist schwachsinnig und ich hab einfach drauflosgeschrieben. Du musst also den Cosinus annähern. In der Fachsprache: Approximieren. Das wird am liebsten mit Polynomen gemacht, da diese in der Mathematik sehr einfach zu handhaben sind. Jedoch ist der Cosinus eine periodische Funktion und kann deshalb nicht ganz so einfach approximiert werden.
Das erste woran man als erstes bei der Approximation von Funktionen denkt, ist die Taylor-Entwicklung. Diese ist für dich aber wahrscheinlich zu schwer.

Also auf deine ursprüngliche Antwort würde ich jetzt schreiben: Der Taschenrechner verwendet ganz einfach die Potenzreihe mit endlich vielen Gliedern; sprich er berechnet nicht unendlich viele Terme sondern vielleicht nur 10 Stück, je nach Taschenrechner. Du kannst ja mal den Cosinus über die Potenzreihe ausrechnen, dann siehst du es.
Also cos(2)=1-2^2/2 +2^4/4*3*2 -1/6!*2^6 ... mit x!=x*(x-1)*(x-2)*...*1

[TheBiber]

Hmm, könnte es vielleicht sein, dass sich Barney unter anderem auch dafür interessiert, was denn nun diese Verfahren schliesslich mit dem Winkel zu tun haben? Die Herleitung der Polynomreihen aus den Winkelfunktionen ist noch ein recht interessantes Thema meiner Meinung nach und erst dadurch sieht man ja schliesslich den Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra.

Übrigens, noch etwas zur Taylorentwicklung, vielleicht kannst du mir diese Frage beantworten: Was ich an der Taylorreihe nicht verstehe, inwiefern soll die Annäherung durch das Taylorpolynom von praktischer Bedeutung sein, wenn man die Funktion im Polynom selbst wiederum benutzen muss, um überhaupt das Polynom zu erhalten?

Übrigens, studierst du Mathematik oder etwas in dieser Richtung?

[Jinjukei]

Hmm, könnte es vielleicht sein, dass sich Barney unter anderem auch dafür interessiert, was denn nun diese Verfahren schliesslich mit dem Winkel zu tun haben? Die Herleitung der Polynomreihen aus den Winkelfunktionen ist noch ein recht interessantes Thema meiner Meinung nach und erst dadurch sieht man ja schliesslich den Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra.

Übrigens, noch etwas zur Taylorentwicklung, vielleicht kannst du mir diese Frage beantworten: Was ich an der Taylorreihe nicht verstehe, inwiefern soll die Annäherung durch das Taylorpolynom von praktischer Bedeutung sein, wenn man die Funktion im Polynom selbst wiederum benutzen muss, um überhaupt das Polynom zu erhalten?

Übrigens, studierst du Mathematik oder etwas in dieser Richtung?

...

Ich weiss was du meinst, aber ich meinte in dem Sinne eigentlich, dass hier ja die Potenzreihe die Taylorreihe schon selber darstellt (Funktion selber ist schon eine Taylorreihe). Hier ist also der Cosinus zb. (bei 0 entwickelt) 1-x²/2.
Dieses kann man nun zb. mit dem Hornerschema ziemlich einfach berechnen. Klar kann der TR nicht die Taylorformel oder so benutzten, dann hätte er ja das Problem was du beschrieben hast.
Ansonsten weiss ich auch nicht wie der TR Funktionen berechnet, aber warum sollte er nicht auch einfach durch ganz normales ausrechnen?
Meistens haben die Funktionsberechnungen ja auch nicht mehr Arbeitsschritte als irgendwelche Verfahren (die die ich jetzt kenne: Interpolation zb) dazu selbst ... also wäre es schwachsinnig mehr Arbeit in einer Verfahren zu stecken.