Standardmäßig werden die Mails auf dem Server gelöscht, wenn man die mit dem Mailprogramm abholt.

Im Thunderbird kannst du im Menüpunkt Extras unter Konten... bei deinem gewünschten Mailkonto die Server-Einstellungen verändern. Unter anderem die Option Nachrichten auf dem Server belassen. Eventuell hilft dir das weiter. Ich selbst nutze diese Funktion nicht.