H-Methode

[Titanim]

Hallo, ich habe mal wieder eine Frage:

Kann mir mal bitte einer in aller ausführlichkeit aufschreiben, wie die erste Ableitung der Funktion f(x)= 3x² + x
aussieht, wenn man diese ableitung mit hilfe der H-Methode ausrechnet?

Danke schonmal,
Titanim

[mitaki]

Igitt, igitt, die h-Methode.

Also gut, Ergebnis ist f'(x) = 6x + 1;

Wie kommen wir jetzt darauf?

f'(x) = lim h->0 f(x) - f(x-h) / x - (x-h)

Der Differentialquotient y1 - y2 dividiert durch x1 - x2. h geht immer gegen Null.
Falls du nicht weißt, was das oben bedeutet:
Zuerst nemen wir einen belibigen Punkt auf dem Graphen (x). Dann nehmen wir den selben Punkt minus h (es wäre auch plus h möglich). h ist immer eine sehr kleine, positive, reelle Zahl.
x-h ist also ein Punkt auf dem Graphen, der x sehr nahe ist.
Der Differenzialquotient wird genauso berechnet, wie man die Steigung einer linearen Gleichung berechnet, wenn man zwei Punkte gegeben hat. Nur nimmt man hier an, dass die beiden Punkte sehr nahe zusammenliegen, wodurch das Ergebnis genauer wird, je kleiner h wird.

f'(x) = lim h->0 3x² + x - (3x² - 6hx +3h² +x -h) / h

Zuerst ausführlich aufschreiben, dann bestmöglich zusammenfassen. Ich hoffe ich muss dir nicht das Ausklammern beibrignen

f'(x) = lim h->0 6hx -3h² -h / h

Jetzt kann man durch h dividieren.

f'(x) = lim h->0 6x -3h +1

Jetzt kann man den Grenzübergang vollziehen, d.h. h, welches ursprünglich sehr klein war, wird jetzt Null gesetzt, denn es geht ja gegen Null. Das übrige -3h fällt damit weg und wir erhalten das Ergebnis.

f'(x) = 6x +1;


Juhu, ich kanns noch

[Titanim]

Ich versteh aber nicht ganz, wie du auf das kommst
f'(x) = lim h->0 3x² + x - (3x² - 6hx +3h² +x -h) / h
der erste teil ist klar bis zum minus, dann folgt irgendwas anderes mit dem ich nix anfangen kann, wie man dadrauf kommt, und das h ganz am schluss ist wieder klar.

Aber danke schonmal bis hierhin

[Dhan]

Deine Funktion ist ja f(x)= 3x² + x
d.h. f(x-h) ist:
3(x-h)² + (x-h)

(x-h)², zweite binomische Formel: x²-2hx+h² ((a-b)² = a² - 2ab + b²)
ergo
3(x²-2hx+h²) + x - h
=
3x² - 6hx + 3h² + x - h


jetzt klar?

[Titanim]

AHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH ...

Jetzt hab ich's kappiert!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Danke euch Beiden!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!