mengenrechnung

[Jinjukei]

Hi Torteloni,
hab mir deine Frage heut morgen durchgelesen und will sie jetzt beantworten. Ich habe mich selber noch nicht spieziell mit dieser Frage ausseinandergesetzt, deswegen bin gerade dabei mir das weiter anzueignen. Ich versuche dir dann auch immer die Quelle mithinzuschreiben, falls es eine gibt. Falls du nur den Beweis selber lesen willst, dann schau unten im Post nach, ansonsten hab ich mirs nicht nehmen lassen, noch bisschen von den Grundzügen des Unendlichkeits-Begriff zu schreiben. :>

Vorwort:
Da du ja erst in der 9. Klasse bist und es auch schade findest, hab ich mir gedacht dir bisschen was vorweg zu schreiben.
Also wenn du in der Mathematik etwas rechnen willst, lernst du dir den Algorithmus an und machst es intuitiv, doch geht es ums Beweisen, geht es erst einmal ans Eingemachte. Wenn du ein geschmirtes Brot isst, dann ist du es wie du es schon immer gelernt hast. Doch wenn du dir ein Brot selber backen willst, könntest du dir zuerst mal selber sagen: "Hey, das Brot war rund, war braun, aussen hart und innen weich, also nehm ich mir ein Bisschen was weiches, wie zum Beispiel Teig, male es mit brauner Farbe an und gefriere es bis es endlich hart wird" (is mir grad so eingefallen) oder du sagst dir "Ich schaue mir an, was man braucht, um ein Brot zu backen und es mir dann nach den Regeln der Kochkust selber backe...". Das gleiche mit der Mathematik, du kannst versuchen, dir das Ganze aus deinem Wissen und deiner Intuition herzuleiten, oder aber es dir analyisieren, wie es aufgabaut ist ... Auch wenn du es schon alles wusstest, wollte ich es trotzdem hinschreiben ...

Zuerst einmal ist es schwieriger im Unendlichen zu arbeiten, überlegen oder gar etwas zu beweisen. Ich glaube sogar, da müsste man mit dem Diskutieren über das sogar "zweifehafte" Dogma des "Tertium non datur" diskutieren, was im Grundlagenstreit der Mathematik auch gemacht wird. Damit meine ich, ob es nur ein "Wahr" oder "Falsch" in der Mathematik gibt, sprich ob "oo +1 > oo" oder ob "oo +1 = oo", oder ob es auch ein Drittes gibt (daher Tertium non datur = ein Drittes gibt es nicht).
Wenn du etwas in der Mathematik beweisen willst, musst du auf die Axiome und Definitionen aufbauen, aus denen sich wieder etwas folgern lässt. Im Unendlichen gibt es sogar verschiedene Defnitionen von Dingen (dabei fallen mir gerade nur Hilbert und Cantor ein). Zitat von Hilbert durch: "Das Operieren mit dem Unendlichen kann nur durch das Endliche gesichert werden." (H) Dh. du kannst rekursive Ansätze benutzen und diese zB. über Funktionen gegen Unendlich laufen lassen (Potentielle Unendlichkeit - s.U.), aber du kannst nicht (!) mit unendlich selber operieren. Aber wie gesagt, das ist Hilbert's Sichtweise (Über das Unendliche).
Du willst die Gleichheit zwischen "oo = oo + 1" widerlegen, doch hast du dich schon gefragt, was "oo" überhaupt ist? und was bedeutet hier dein "="?

Gleichheit:
Wie du schon gesagt, hast sind diese 2 Mengen gleich, falls gleich viele Elemente beinhalten. Nun gibt es die Kardinalität, welche die Anzahl dieser Menge angibt (card{a,b} = card {bla, blu}). Nimmt man eine unendliche Menge von irgendetwas, zum Beispiel natürlichen Zahlen, so kann die Kardinalität ja keine Zahl aus den natürlichen sein, sonst wäre sie ja endlich! Welche Zahl ist es dann? Sie wäre überhaupt nicht bekannt für uns! Nehmen wir zum Beispiel "oo"...
Cantor hat deswegen die Mächtigkeit "Aleph_0" definiert. 0 hat er für die "kleinste Mächtigkeit im Unendlichen" (zb. ganze, natürliche Zahlen) und 1 für eine höhere Stufe der Mächtigkeit, zB. der reellen Zahlen, definiert.
In Systemen über die Unendlichkeit hinaus, also in transfiniten Systemen, kommt eine weitere Größe Naleph in Einsatz, die als Basiseinheit einer unendlichen Größe für die natürlichen Zahlen definiert werden kann. Zb: wäre "card(gerade natür. Zahlen) = card (ungerade natür. Zahlen) = Naleph" und "card(ganze Zahlen) = 2 * Naleph (negativen natürlichen Zahlen dazu)" Und eine unendlich-stellige reelle Zahl ist der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig (jedoch sind wir hier im naiven transfiniten System - das N vor dem Naleph steht für das Naiv)
So, dh. bei dir wäre das Naleph + 1 > Naleph (bzw. =), was ja eigendlich Sinn ergäbe, doch da wir hier im transfiniten System sind, gibt es noch Dinge zu beachten, nämlich WAS für ein Unendlich meinst du?

Unendlichkeit:
Es gibt verschiedene Arten Unendlichkeiten zu betrachten, es gibt einmal die aktuale Unendlichkeit (AU) und die potentielle Unendlichkeit (PU). Die rekursive Andeutung vorher würde einer potentiellen Unendlichkeit entsprechen, wir haben einen Anfang: nehmen wir die 1, wir haben eine Fortsetzungsregel: nehmen wir 1/n und kein Ende (0): wenn wir die nat. Zahl n einsetzen. (Zitat von Hilbert oben: "...Endliche gesichert werden", ich glaube das meint er damit) Bei der aktualen gibt es einen Anfang, eine Fortsetzungregel und ein gedachtes Ende.
So, wie auch immer wir jetzt losrechnen wollen, wir brauchen eine Definition, einen Ansatz im Unendlichen, da bietet sich doch die Basisgröße Naleph aller AU an.
Nehmen wir die natürlichen Zahlen, man kann sie als AU und PU ansehen, wobei PU auch kein wirkliches Ende hat, denn man könnte immer wieder 1 dazuzählen ...

Nun zur Definition der Menge der Unendlichkeit! Und damit zum Ende ^^:
Eine Menge heißt unendlich, wenn sie zu einer echten (!) Teilmenge gleichmächtig ist, dh. zB. die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, denn sie ist gleichmächtig zur Menge aller geraden natürlichen Zahlen (wie vorher an der Größe Naleph gezeigt). Es gibt [b]keine "Zahl" namens unendlich, wie z.B. das Symbol "oo". Wenn du mal irgendwann Analysis studierst ^^, dann siehst du das man dort oo für Grenzübergänge (Überwindung der Grenze bei der PU) benutzt, wie zum Beispiel bei der Folge 1/n, wenn man n gegen Unendlich (oo) laufen lässt: limes(1/n)=0 für (n->oo) ...
Kannst ja mal in den anderen Thread schauen (Grenzwertsätze...oder so), da stehen ein paar Aufgaben drin...

Ich hoffe hab dir bisschen geholfen (hoffe ich hab "nicht allzuviel" Fehler geschrieben)

Edit: Zu guter Letzt habe ich mich noch in Wikipedia umgekuckt und gesehen, dass es noch ziemlich viel zu Überdenken gibt, zwar nicht bei deiner Frage, aber zb. über die Mengen und die Kardinalzahlen (Ordinalzahlen) und deren Mächtigkeit ... etc ... vielleicht schreib ich mal ein ausführlichen und leserlichen Artikel (Thread...) darüber *g*