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Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

1. 0 ist eine natürliche Zahl. (nun gut, heute ist 0 definitionsgemäß nicht Teilmenge von N)
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine
natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
Damit sollte doch deine Frage geklärt sein, oder? In den natürlichen Zahlen ist jede beliebige ganze Zahl >0 enthalten..oder wo ist dein Problem?
Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann sind auch n+1, n^2, n! natürliche Zahlen; das ist eine direkte Folgerung aus 2.

Und da ganze und rationale Zahlen einfache Erweiterungen von N sind, sollte die Sache doch geklärt sein, oder?