Von Grenzwerten, Satz von Taylor, Bernoulli, de l´Hospital, Newton Verfahren...

[Tabris]

bei der 1. hast du eine folge und dein x geht sogar gegen eine reelle zahl, dh du setzt sie einfach ein!

...

Naja... ^^

Ich denke, dass du die ersten beiden Aufgaben gut mit der Regel von L'Hospital lösen kannst.

Nehmen wir an, du willst den Grenzwert vom Quotienten zweier Funktionen f(x)/g(x) bestimmen, wenn x -> a strebt. f(a) und g(a) ist = 0. Jetzt leitest du f und g n-mal ab, bis du a einsetzen kannst und nicht mehr g(a) = 0 als Ergebnis erhälst. Ganz wichtig: für _alle_ Ableitung bei beiden Funktionen bis zur n-ten Ableitung muss für f(x) und g(x) gelten, dass, wenn man a einsetzt, die Ableitungen 0 sind. Ich hoffe, dass war halbwegs korrekt und verständlich. ^^ Mich kann ein anderer gerne berichtigen, wir hatten das gerade erst in Analysis eingeführt.

Code:

a) Sei f(x) := x^2 - 8x + 12 und g(x) := x - 2. 
Dann ist f'(x) = 2x - 8 und g'(x) = 1. 
Es ist f(2) = 0 und g(2) = 0 sowie f'(2) = -4 und g'(2) = 1. 
Also ist die Regel von de L'Hospital anwendbar und es gilt:

lim     x^2 - 8x + 12      
x->2  ----------------  = f'(2)/g'(2) = -4/1 = -4 
            x - 2

Code:

b) Sei f(x) := (1 + 5x)^(1/3) - 1 (also dritte Wurzel) und g(x) := 2x. 
Dann ist f'(x) = (5/3)*(1 + 5x)^(-2/3) und g'(x) = 2. 
Es ist f(a) = 0 und g(a) = 0 sowie f'(a) = 5/3 und g'(a) = 2. 
Also ist die Regel von de L'Hospital anwendbar und es gilt:
             
lim     (1 + 5x)^(1/3) - 1      
x->0  ---------------------  =  f'(0)/g'(0) = (5/3)/2 = 5/6
            2x

Nun zum guten Alten Satz von Taylor. Nehmen wir an, du hast eine Funktion f(x) und einen Punkt x_0. Nach dem Satz von Taylor ist nun f(x) gleich einem gewissen Taylorpolynom. Ich kann das leider nur sehr schlecht hier beschreiben, vielleicht schaust du mal in der Fachliteratur oder bei Wikipedia nach? Vielleicht dürfte der Satz von Tayler dann im Zusammenhang mit meinen Rechnungen klarer werden.

Code:

Allgemeine Formel für Taylorentwicklung einer Funktion f(x) an der Stelle x0 
bis zur n-ten Potenz: 
(f^(n) ist die n-te Ableitung)

f(x) = f(x0) + (f'(x0)/1!)*(x - x0) + (f''(x0)/2!)*(x - x0)^2 
         + ... + (f^(n)(x0)/n!)*(x - x0)^n + R

Wobei R das sogenannte Restglied ist. Ich weiß allerdings nicht, 
inwieweit das bei euch eine Rolle gespielt hat.

Code:

a) f(x) = e^x , x0 = 0

Bekanntlich verändert sich e^x beim Ableiten nicht und e^0 = f(0) = 1

Taylorentwicklung von f(x) = e^x an der Stelle x_0 = 0 bis zur fünften Potenz:

f(x) = f(0) + (f'(0)/1!)*x + (f''(0)/2!)*x^2 + (f'''(0)/3!)*x^3 
         + (f''''(0)/4!)*x^4 + (f'''''(0)/5!)*x^5 

      = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + (x^5)/5!

=> Für das n-te Glied gilt: (x^n)/n!.

Code:

b) f(y) = 1/y = y^(-1) , y_0 = 2

Es gilt:

f'(y) = -y^(-2), f''(y) = 2y^(-3), f'''(y) = -6y^(-4), 
f''''(y) = 24y^(-5) , f'''''(y) = -120y^(-6) 

und

f'(2) = -(1/4), f''(2) = (1/4), f'''(2) = -(3/8), 
f''''(2) = 3/4, f'''''(2) = -(15/8)

Taylorentwicklung von f(y) = 1/y an der Stelle y_0 = 2 bis zur fünften Potenz:

f(y) = f(2) + (f'(2)/1!)*(x -2) + (f''(2)/2!)*(x -2)^2 + (f'''(2)/3!)*(x - 2)^3 
          + (f''''(2)/4!)*(x - 2)^4 + (f'''''(2)/5!)*(x - 2)^5
     
     = 1/2 - (1/4)*(x - 2) + (1/8)*(x - 2)^2 - (1/16)*(x - 2)^3 
        + (1/32)*(x - 2)^4 - (1/64)*(x - 2)^5

=> Für das n-te Glied gilt: (1/2^(n+1))*(x - 2)^n

Den Rest editiere ich später rein. Bis auf Newtonentwicklung, davon hab' ich keine Ahnung. Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen. Wenn du noch Fragen hast, add mich halt in ICQ oder MSN. ^^