Mathe-Problem

[Akai Nami]

Hallo!

Ich hoffe, dass ihr mir bei einem großen Problem helfen könnt. Es geht um Tangentengleichungen.

Ich gebe euch jetzt ein Beispiel:

Ich habe f(x)=3x^2 - 2 und soll jetzt eine Tangentengleichung unter der Vorraussetzung finden, dass die Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung g(x)=12x-5 sein soll.

Kann mir jemand helfen?

[TheBiber]

Wenn die Tangente parallel zu g sein soll, müssen die Steigungen gleich sein. Die allgemeine Geradengleichung lautet:

y = mx + b, wobei m die Steigung ist. Die Steigung ist in diesem Fall also m = 12.

Nun müssen wir auf f einen Punkt finden, an welchem die Tangentensteigung ebenfalls 12 ist. Die Tangentensteigung einer allgemeinen Funktion ist definiert als deren Ableitung. Also leiten wir mal f(x) ab:

f'(x) = 6x

f' ist die Steigung und diese muss 12 sein, daraus folgt:

12 = 6x --> x = 2

Nun setzen wir diesen Wert wieder in der Grundgleichung von f ein, um y zu erhalten:

y = 3*2²-2 = 10

Mit diesen Werten ist es nun möglich, b zu berechnen:

10 = 12*2+b --> b = -14

Mit m und b ist die gesuchte Tangentengleichung nun eindeutig definiert:

t: y = 12x-14

[Akai Nami]

@the Biber
Vielen Dank. Jetzt verstehe ich das ganze Stoffgebiet gleich viel besser. Könntest du mir noch bei einer weiteren Aufgabe helfen?

Und zwar habe ich f(x)= -(x-2)^2 + 4 und die soll senkrecht auf g(x)=3x-2 stehen. Wie gehe ich hier vor?

[TheBiber]

Jetzt müsste ich wissen, wie die Frage gemeint ist? Also du hast eine Parabelfunktion f und eine Geradenfunktion g. Gesucht ist nun eine Änderung der Funktion f, so dass diese senkrecht auf g steht? Oder umgekehrt?

[Akai Nami]

Gesucht ist eine Tangentengleichung, die auf f(x) senkrecht steht. Es tut mir leid für die schlechte Beschreibung.

Also das m habe ich schon. Durch die Beziehung m(1)= - 1/m(2).
Jedoch weiß ich jetzt nicht weiter.

[TheBiber]

Ok. Das Prinzip ist praktisch dasselbe wie bei der ersten Aufgabe. Die Steigung hast du ja schon, nämlich der negative reziproke Wert der Steigung von g:

m = -1/3

Als nächstes heisst es wieder f(x) ableiten:

f'(x) = -2(x-2)

Jetzt wieder die Steigung einsetzen und x berechnen:

-1/3 = -2(x-2) --> x = 13/6

Diesen wieder in die Grundgleichung einsetzen:

y = -(13/6-2)²+4 = 143/36

Dann wieder b berechnen:

143/36 = -1/3*13/6+b --> b = 169/36

Die Lösung lautet also:

y = -1/3x+169/36

(würg, Bruchrechnen )

[Akai Nami]

Ich muss dir wirklich danken. Im Prinzip gehen diese Aufgaben also nach folgendem Schema:

1. zuerst m berechnen
2. die erste Ableitung bilden
3. x berechnen
4. y berechnen
5. die berechneten x und y werte in die Ausgangsgleichung einsetzten
6. n (Oder bei dir b) berechnen
7. m und b (=n) in die allgemeine Form y=mx+n einsetzten.

Echt. Vielen Dank noch einmal.

[TheBiber]

Kommt in etwa hin. Gern geschehen.

Ach ja, mir ist noch aufgefallen, dass die Tangente senkrecht auf g steht und nicht auf f, deshalb war ich erst so verwirrt.

[Akai Nami]

Ich hab wieder ein Problemchen.

Gegeben ist die Gleichung:
y=-ax^2 + 1,50

Und Jetzt soll ich a berechnen.

Da hab ich gedacht:

1. a ist der Anstieg der Geraden, also ist a = der ersten Ableitung der Funktion

a = -2ax
Jetzt habe ich x berechnet, indem ich erst durch a und danach mit -2 dividiert habe also:
a = -2ax (Durch a)
1= -2x (divdiert mit -2)
-1/2 = x

Wenn ich jetzt mich an das Ausrechnen der y-Koordinate mache, indem ich x=0 setzte bekomme ich als Wert für y=1,50 raus.

Aber jetzt kommt mein Problem zur Geltung:
Ich hätte jetzt als Gleichung 1,50 = -a*(-1/2)^2 +1,50 und wenn ich a ausrechnenen will, dann komme ich immer auf 0. Kann dieser Wert stimmen?

[TheBiber]

Das Problem ist mal wieder, dass die Aufgabenstellung nicht präzise genug ist, denn a kann prinzipiell einmal alles sein.

Übrigens, dass nach deinen Überlegungen a = 0 sein muss, ist schon an dieser Gleichung ersichtlich:

a = -2ax --> a kann nur 0 sein.

Dennoch ist die Überlegung dahinter falsch, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt, ist a nicht der Anstieg einer Geraden, sondern der Dehnfaktor der Parabel. Ich nehme aber an, dass das sowieso irrelevant ist. Ausserdem machst du mir da ziemlich wilde Herumrechnungen, wieso du einfach x = 0 setzt, ist überhaupt nicht einleuchtend.

Auf jeden Fall ist die Aufgabe nicht präzise genug, um sie lösen zu können. Es fehlt eine zweite Bedingung.

[Akai Nami]

ALso diese Aufgabe war früher eine Abituraufgabe:

Der Körper ist ein Parabelsichelträger mit zwei Parabelbögen.

Der obere hat die Gleichung y=-5/72 x^2 + 2,50

und der untere hat die Gleichung y=-ax^2 + 1,50 und jetzt soll ich y berechnen. Gibt es da einen Weg?

EDIT: Ah. Mir fällt er ein. Kann es sein, dass ich die ersten Ableitungen beider Gleichungen gleich setzten muss und dann nach a auflösen kann? Ich habe es getan und es kam bei mir raus: a=5/72

[TheBiber]

Leider weiss ich jetzt nicht, was ein Parabelsichelträger ist.
Und wieso meinst du jetzt plötzlich, man müsse y berechnen? Oder meinst du a und hast dich vertippt?

Zu deiner Lösung: Wenn du die Ableitungen gleich setzt, bedeutet dass, dass die beiden Parabeln von der Form her gleich aussehen sollen. Dein a stimmt in diesem Sinne schon.

Wie gesagt, ich kann mit der Aufgabe vorerst nichts anfangen, ausser du erklärst mir, was ein Parabelsicherträger ist. Oder du formulierst die Aufgabe anders.

[Akai Nami]

Sorry, es müsste a heißen. War gestern nicht mehr ganz auf der Höhe. Diese Zahlen schaffen es mich sehr zu verwirren.

Also du musst dir ein Parabelsichelträger (zumindest nach der Skizze) wie eine Mondsichel vorstellen, deren beide Bögen durch Parabeln dargestellt werden, also beide Parabeln haben die Nullstellen gemeinsam.

[TheBiber]

Ok, damit wird die Aufgabe endlich lösbar.

Gesucht ist also der Wert von a bei der Funktion y = -ax² + 1.5

Eine Bedingung ist, dass die Funktion die gleichen Nullstellen haben muss wie die andere Funktion. Also berechnen wir mal beide Nullstellen, indem wir y = 0 setzen:

0 = -5/72x² + 2.5
--> x² = 36
--> x01 = 6
--> x02 = -6

Mit y = 0 und einer Nullstelle (spielt keine Rolle welche, da sie quadriert wieder das gleiche ergeben) kann man nun a berechnen:

0 = -36a+1.5
--> a = 1/24

[Akai Nami]

Hallo. Wieder einmal stehe ich vor einem großen Matheproblem.

Ich habe jetzt die Ableitungen höherer Grade kennengelernt und bin jetzt bei der Kurvendiskussion.

Nun hat uns unsere Mathelehrerin folgenden Beweis aufgegeben:
"Weise nach: Eine rationale Funktion des dritten Grades hat ihren Wendepunkt auf der y-Achse, wenn sie kein quadratisches Glied hat!" Kann mir hier jemand helfen?

[Jinjukei]

Hi, so hab dir mal nen "Beweis" geschrieben, sollte aber reichen hatte auch nicht sooo viel Zeit

Gruß Jin

EDit: du zeigst einfach das f''(x)=0 nur für x=0 gilt
KLICK HIER

[Akai Nami]

Hey. Vielen Vielen Dank. Das einzige Problem bei mir war nur, dass ich nicht wusste was eine Funktion dritten Grades war.^^*

Hab den Beweis auch in kürzerer Form während der vorhergehenden Stunden noch gemacht und war auch so richtig. Trotzdem. Danke, dass du dir diese Mühe gemacht hast.

[Akai Nami]

Es tut mir leid, dass ich diesen Thread wieder aus der Versenkung holen muss, aber ein kleines Problem hat sich ergeben:
Ich habe zwei Funktionen gegeben:
Einmal die Funktion w(x)= -1,5x + 1 und die Funktion h(x)= 2/3x - 10/3. Die beiden schneiden sich im Punkt (2;-2) und ergeben in Kombination mit der x- und y-Achse zwei Dreiecke. Das erste Dreieck wird von den Geraden w,h und der y-Achse eingeschlossen. Das zweite zwischen den Geraden w,h und der x-Achse eingeschlossen.
Meine Aufgabe liegt nun darin nachzuweisen, dass der Flächeninhalt genau gleich ist.
Meine Vorgehensweise war wie folgt:
- Die Dreiecke eingezeichnet
- Da die Geraden senkrecht zueinander sind, sind die Dreiecke auch rechtwinklig
- Die FLächenformel für das rechtwinklige Dreieck ist: A= 0,5*a*b
- Das Dreieck was von den Geraden und der y-Achse eingeschlossen wird habe ich zuerst bearbeitet.
- Da beide Seiten bis zum Punkt X=2 reichen, dachte ich dass die jeweilige Seitenlänge 2 LE (Längeneinheiten ist)
- Daraus folgt als Flächeninhalt ein Wert von 2 FE, da 0,5*2*2= 2 ist
- Das Dreieck, was von der X-Achse beschränkt wird, kommt jetzt dran
- Zuerst habe ich die Nullstellen bestimmt: für w= 2/3 und für h=5
- Dann habe ich einmal 2 - 2/3 gerechnet um die Seite a auszurechnen = 4/3
- Danach 5 - 2 gerechnet um Seite b zu bekommen = 3
Jetzt wieder Formel genommen: 0,5*4/3*3 ist auch 2
- Damit bewiesen, dass Dreiecke gleich groß sind
Nun war das ja kein Problem, jedoch stand in der Lösung (Aufgabe war Abituraufgabe) drinnen, dass beide Dreiecke einen Flächeninhalt von 13/3 FE (Flächeneinheiten) haben müssten. Hab ich mich da verlesen und ist meine Rechnung richtig oder wie komme ich auf die 13/3 FE?

[Loxagon]

... Dass ist höhere Integral Mathematik ...
DASS übersteigt mein können, leider.

[zinsl]

An sich war dein Ansatz schon richtig, aber du hast an den entscheidenden Stellen zwei Denkfehler gemacht:

1. Dreieck:
A=0,5(1+10/3)*2=13/3

1+10/3 ist die "Grundlinie", weil w die y-Achse in 1 und h die y-Achse in -10/3 schneidet (Abstand).
2 ist die "Höhe", weil der Schnittpunkt/Spitze des Dreicks bei x=2 liegt

2. Dreieck:
Nullstellen: w(x)=0 --> x=2/3 ; h(x)=0 --> x=5

A=0,5(5-2/3)*2=13/3

5-2/3 ist Grundlinie (Abstand zwischen den beiden Nullstellen), 2 ist Höhe (Schnittpunkt bei y=-2).


Es ist meist ratsam, wenn es um Dreiecke geht, dass man die Grundlinie/Höhe so wählt, dass sie parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

Hoffentlich konnte ich helfen.
Viele Grüße zinsl