Mathe-LK: Umkehrfunktionen

[MagicMagor]

Die erste Funktion ist nicht voll umkehrbar (deswegen auch das ±), es wurde ja auch nach dem Intervall gefragt, in dem es umkehrbar ist.

y = 4x - x^2
0 = 4x - x^2 - y | -y
0 = x^2 - 4x + y | *-1 und umgestellt
0 = x^2 - 4x + y + 4 - 4 | Quadr. Ergänzung
0 = (x - 2)^2 + y - 4 | 2. Bin. Formel
4 - y = (x - 2)^2 | -y: +4

Wurzel(4 - y) = x - 2 | Wurzel
Wurzel(4 - y) + 2 = x | +2

f^-1(x) = Wurzel(4 - x) + 2 | x und y vertauscht
Der Definitionsbereich hiervon ist x <= 4, der Wertebereich ist y >= 2.

Das Wurzelziehen hat aber einen zweiten Fall:

-Wurzel(4 - y) = x - 2
-Wurzel(4 - y) +2 = x
-Wurzel(4 - x) + 2 = y

Diese zweite Funktion denselben Definitionsbereich, aber einen anderen Wertebereich nämlich <=2. Das Problem ist, daß wir damit für einen x-Wert zwei y-Werte haben, was für eine Funktion unzulässig ist. Bei beiden Funktionen ist der Definitionsbereich x<=4, das bedeutet, daß der umkehrbare Wertebereich der Orginalfunktion auf y<=4 beschränkt ist.

*kopfkratz* Umkehrung bedeutet, wenn ich mich nicht irre, eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden. Ich bin momentan verwirrt, weil die Urpsprungsfunktion eigentlich keine Parabel ist, bei der Umstellung aber eine Parabellfunktion herauskam, die nur im positiven Bereich umkehrbar ist. Letztendlich würd ich also sagen, ist nur die erste meiner beiden Wurzelfunktionen die Umkehrfunktion.
Andererseits, fallen du funktionen nur bei x = 4 zusammen, was mich dazu bringt, daß die Funktion nur bei x = 2 umkehrbar ist.
Vom Graphen her gesehen müßte es aber eine kontingente Umkehrfunktion geben.. Falls der Lehrer das demnächst mal auflöst, wäre ich dir sehr verbunden wenn du das hier posten könntest Yoshi =).

[TheBiber]

*kopfkratz* Umkehrung bedeutet, wenn ich mich nicht irre, eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden. Ich bin momentan verwirrt, weil die Urpsprungsfunktion eigentlich keine Parabel ist, bei der Umstellung aber eine Parabellfunktion herauskam, die nur im positiven Bereich umkehrbar ist.

...

Schau dir die Ursprungsfunktion nochmals genau an:

f(x) = 4x-x&#178;

Das ist sehr wohl eine Parabel. Mit Scheitelpunkt S(2|4), nach unten ge&#246;ffnet und den Nullstellen x01 = 0 und x02 = 4.

Letztendlich w&#252;rd ich also sagen, ist nur die erste meiner beiden Wurzelfunktionen die Umkehrfunktion.

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Nein, beide, ich f&#252;hre sie nochmals beide zusammen auf:

f^1(x)1 = 2 + WURZEL(4-x)
f^1(x)2 = 2 - WURZEL(4-x)

Andererseits, fallen du funktionen nur bei x = 4 zusammen, was mich dazu bringt, da&#223; die Funktion nur bei x = 2 umkehrbar ist.

...

Wieso m&#252;ssen die Funktionen nur dort umkehrbar sein, wo sie zusammenfallen? Das ergibt keinen Sinn. BEIDE Funktionen sind Umkehrfunktionen der ersten.

Vom Graphen her gesehen m&#252;&#223;te es aber eine kontingente Umkehrfunktion geben.. Falls der Lehrer das demn&#228;chst mal aufl&#246;st, w&#228;re ich dir sehr verbunden wenn du das hier posten k&#246;nntest Yoshi =).

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Ich habe die Grafen mal mit Graphmatica erstellt:



Schwarz: Spiegelachse: f(x) = x
Purpur: Ursprungsfunktion: f(x) = 4x-x&#178;
Rot: Erste Umkehrfunktion: f^1(x)1 = 2 + WURZEL(4-x)
Blau: Zweite Umkehrfunktion: f^1(x)2 = 2 - WURZEL(4-x)

Ach ja, was mit f_(x) und mit Df_ gemeint ist, ist mir nicht ganz klar. Davon habe ich bisher noch nie geh&#246;rt.
Aber wie es scheint, geht es hier um Definitions- und Wertebereiche.
Die Definitionsmenge ist in diesem Fall bei der Ursprungsfunktion ist D = R, da f&#252;r x alle reellen Zahlen eingesetzt werden d&#252;rfen. Die Wertemenge ist allerdings <= 4. Bei den Umkehrfunktionen sieht es etwas anders aus: Bei beiden ist die Definitionsmenge D <= 4 und die Wertemenge bei der ersten ist >= 2 und bei der zweiten <= 2.

Wie das mit dem Intervall gemeint ist, weiss ich nicht, da ich es nie geh&#246;rt habe. Ich hoffe, ich konnte aber mit dem Rest irgendwie helfen.