Bei deinem jetztigen Script wird nur ein User überprüfst, weil du mit "SELECT * FROM member" zwar alle Benutzerdaten auswählst, aber nur einen von ihnen mit mysql_fetch_assoc() herausgreifst. Die Funktion mysql_fetch_assoc() gib immer nur eines von den Ergebnissen zurück. Wenn du also alle Benutzer überprüfen willst, musst du das ganze zB in eine while()-Schleife packen zB so:
PHP-Code:
while($row = mysql_fetch_assoc($result)) {
  // Überprüfen der Benutzerdaten
} 
Dein ganze Code müsste also etwa so aussehen (ungetestet):
PHP-Code:
<?php
     include("connect.inc.php");
     include("logdata.php");
     $userdata="SELECT * FROM member";
     $result=mysql_query($userdata);
  
     if ($_SERVER['REQUEST_METHOD'] == 'POST') {
      session_start();

      $username = $_POST['username'];
      $passwort = $_POST['passwort'];

      $hostname = $_SERVER['HTTP_HOST'];
      $path = dirname($_SERVER['PHP_SELF']);

      // Benutzername und Passwort werden überprüft
      $korrekt = false;
      while($row=mysql_fetch_assoc($result))
        if ($username == '$row[name]' && $passwort == '$row[pass]')
          $korrekt = true;

      if ($korrekt) {
       $_SESSION['angemeldet'] = true;

       // Weiterleitung zur geschützten Startseite
       if ($_SERVER['SERVER_PROTOCOL'] == 'HTTP/1.1') {
        if (php_sapi_name() == 'cgi') {
         header('Status: 303 See Other');
         }
        else {
         header('HTTP/1.1 303 See Other');
         }
        }

       header('Location: http://'.$hostname.($path == '/' ? '' : $path).'/index.php');
       exit;
       }
      }
?>