PHP-Code:
<?php
$shoutbox_1 = "SELECT * FROM shoutbox LIMIT = 10";
$result = mysql_query($shoutbox_1);
while ($shoutbox = mysql_fetch_array($reesult))
Du kannst nicht einfach aus irgendeinem String die Ergebnisse holen, du brauchst schon MySQL-Daten...

btw, der Output deines HTML-Codes wirkt auf mich auch irgendwie undurchsichtig...
Wieso soll jeder Shout in einer eigene Tabelle stehen? Und wieso machst du <tr><td> zweimal auf? du musste eine Zelle erst schließen, bevor du eine neue aufmachen kannst.