Ja, char ist für Buchstaben gedacht. Für einen Einzigen Buchstaben (genauer: für Zeichen).
Strings sind in C++ Array von chars. Alternativ kannst du auch mit dem Datentyp String arbeiten:
Code: 
#include <string>
#include <iostream>

using namespace std;
main()
{
  string Spielername;
  cin >> Spielername;
  cout << Spielername;
}
Außerdem existieren Variablen nur in dem Block, in dem sie initialisiert wurden (und in untergeordneten Blöcken), also wird Spielername_i nach jedem Durchlauf der for-Schleife neu erstellt.

Ach ja, die Variable heißt Spielername_i, nicht Spielername_1, Spielername_2 usw.