Zuerst mal: Kick den AOL-Browser von der Platte, der richtet nur Shit an, ich würde mich nicht wundern wenn der bei Onlinebanking versagen würde (beknackte Shared-IP's ).
Opera kommt zumindest mit dem Postbank-Onlinebanking und dem Sparkasse-Onlinebanking zurecht, von weiteren weiß ich nicht, dürfte aber eigentlich kaum Probleme geben.

Wenn das nicht hilft, check mal ob beim Router der Port 443 dicht ist. Das ist nämlich der SSL respektive https-Port. SSL ist ein verschlüsselter Übertragungsstandard der sehr oft auch bei Onlinebanking Verwendung findet.
Wie man das bei deinem Router checkt, weiß ich nicht. Ich kenne nur meinen SMC Barricade.