Die Situation mit dem nur Sekundenbruchteile dauernden Stromausfall kenne ich, glücklicherweise reagieren Fernseher und PC nicht ganz so dramatisch darauf; bei laufender Konsole ist mir das allerdings noch nicht passiert.
Ich denke, dein GameCube könnte diverse "innere Verletzungen", ergo schwere Schäden davongetragen haben. Da mein Cube auch schon mal kaputt war (etwa zwei Wochen nach Kauf und Release ), habe ich bereits Erfahrungen in Sachen Kundenservice bei Nintendo & Co gesammelt - damals hatte ich den Cube zunächst nach einer kurzen E-Mail an den Händler geschickt, bei dem ich den Würfel gekauft hatte (Playcom, Anm. d. Aut.), dieser wiederum leitete ihn an Nintendo weiter, die den Cube ohne Aufpreis reparierten.

Falls die Garantie für deinen GameCube noch nicht abgelaufen sein sollte, wende dich am besten direkt an Nintendo, möglicherweise reparieren sie ihn auch gegen eine geringe Gebühr, wenn deine Garantie schon abgelaufen ist.