Gut, dann ist der Fehler hinsichtlich Übergabe Formular -> PHP Script auszuschließen.

Dann tippe ich stark auf die falschen Feldnamen der MySQL Datenbank, wenn in der Datenbank z.B. das Feld "vorname" klein geschrieben wird, dann musst du an dieser Stelle

PHP-Code:
$insert = "INSERT INTO anmeldeformular (vorname, ...) VALUES ('$vorname', ...)"; 
das Feld mit dem exakten Namen (Groß- und Kleinschreibung beachten) ansprechen. Ansonsten überprüfen, ob Benutzername, Passwort und Datenbankname richtig sind.