Ich erklär dann mal die ersten Aufgabe...

a)
  • Definitionsbereich und Wertebereich sind beide ganz R
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 => y=0 (also der Ursprung)
  • punktsymmetrisch zum Wendepunkt (wie alle Polynome dritten Grades)

b)
Eine Nullstelle ist bereits berechnet: (0|0)
Durch Ausklammern von x erhält man einen quadratischen Term, dessen Nullstellen man dann wahlweise mit Lösungsformel oder quadratischer Ergänzung berechnen kann, genau wie die Nullstellen der ersten Ableitung. Die zweite Ableitung ist linear, also sollte die Nullstelle kein Problem sein.

c)
Als Extrempunkte kommen nur die Nullstellen der ersten Ableitung in Frage. Setze sie in die zweite Ableitung ein, und da bei beiden Punkten die zweite Ableitung nicht Null ist, sind beides Extrema (ein lokales Minimum und ein lokales Maximum)

d)
Für Wende- und Sattelpunkte kommt nur die Nullstelle der zweiten Ableitung in Frage. Da die erste und dritte Ableitung dort ungleich Null sind, ist es ein Wendepunkt, aber kein Sattelpunkt.
Die Wendetangente hat folgende Form:
y = yw + m*(x-xw)
Hierbei sind (xw|yw) der Wendepunkt und m = f'(xw) die Steigung am Wendepunkt.

e)
am besten mit einer kleinen Wertetabelle und allen Punkten, die bisher ermittelt wurden

f)
  • Steigen und Fallen:
    Die Funktion steigt genau dann, wenn f'(x)>0 ist und fällt genau dann, wenn f'(x)<0 ist. Also steigt sie fast überall.
  • Krümmungsverhalten:
    Die Funktion ist genau dann linksgekrümmt, wenn f''(x)>0 ist und genau dann rechtsgekrümmt, wenn f''(x)<0 ist.


Nochmal im Überblick:
  • f(x)=0 => Nullstelle
  • f'(x)=0 und f''(x)<0 => Maximum
  • f'(x)=0 und f''(x)>0 => Minimum
  • f''(x)=0 und |f'''(x)|>0 => Wendepunkt
  • f'(x)=0 und gleichzeitig Wendepunkt => Sattelpunkt
  • Polynome von ungeradem Grad sind immer punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt, und Polynome von geradem Grad sind immer achsensymmetrisch.