Extremwert Rechnung

[Tabris]

Zur "Parabel dritter Ordnung"-Aufgabe:

Ich denke mal, mit Parabel dritter Ordnung ist ein Polynom dritten Grades gemeint, also (in allgemeiner Form):

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

Wir wissen, dass der Graph durch den Ursprung geht, also können wir sagen:

f(0) = d = 0 => d fällt weg

Der Graph hat in P(1/-2) seinen Wendepunkt, also muss f(1) = -2 und f''(1) = 0 sein (notwendige Bedingung für Wendestellen)

Also können wir folgende Gleichungen aufstellen:

f(1) = a + b + c = -2
f''(1) = 6a + 2b = 0

Die Tangente am Wendepunkt hat die Steigung m = 2. Es gilt: f'(x) = m, wir können also mit Hilfe der ersten Ableitung die Steigung an der jeweiligen Stelle bestimmen. Es gilt also:

f'(1) = 3a + 2b + c = 2

Wir können nun mit den obigen Gleichungen ein lineares Gleichungssystem aufstellen und auflösen, um die einzelnen Werte zu berechnen:

Code:

I   a  +  b + c = -2
II  6a + 2b     = 0
III 3a + 2b + c = 2

III - I

IV 2a + b = 4

II - 2*IV

2a = -8 => a = -4

a = -4 in II einsetzen:

-24 + 2b = 0 => b = 12

a = -4 und b = 12 in I einsetzen:

8 + c = -2 => c = -10

Die Gleichung dieser Parabel dritter Ordnung lautet also f(x) = -4x^3 + 12x^2 - 10x

Wenn es dir hilft, kann ich auch noch eben die erste Aufgabe durchrechnen.