Das mit dem Speicher liegt in erster Linie daran, dass das Paket zuerst runtergeladen, dann entpackt und dann installiert wird. Deswegen wird oft freier Speicher mit Faktor x1,5 empfohlen. In dem Falle ist aber genügend Speicher frei ^^
Es kann auch sein, dass durch das häufige Installieren und Deinstallieren von Apps noch Datenmüll vorhanden sein kann, wodurch der Speicher geblockt wird. Klingt komisch, kann aber passieren. Normalerweise sollte das System diesen Müll selbst bereinigen, funktioniert erfahrungsgemäß aber nicht immer.

Zu der Updateproblematik: Man hätte noch den Playstore manuell neu installieren können, aber wenn nun selbst nach einem Werksreset, was einer Formatierung und Neuinstallation des Systems (wie beim Computer, denn nichts anderes sind Smartphones mittlerweile), das Problem nicht behoben werden konnte und selbst neue Apps und sogar andere Funktionen nicht mehr funktionieren, ist mit hoher Wahrscheinlichkeit etwas am Gerät selbst defekt. Bei einer solchen Problematik kommen mir direkt der Prozessor und die Platine im Sinn. Wenn das Hirn nicht mehr richtig funktioniert, machen auch die restlichen Funktionen Probleme.
Es kann auch am WLAN-Modul liegen. Eine Verbindung wird zwar aufgebaut, aber der Datentransfer funktioniert nicht. Das kenne ich schon von minderwertigen Routern.
Ansonsten würde mir noch der Arbeitsspeicher einfallen...wie dem auch sei. Es liegt nahe, dass das Problem an der Hardware liegt und daran kann man als Nutzer nichts machen.
Ich würde das Ding einschicken lassen und, wie Corti schon sagte, rumfragen ob jemand ein Ersatzsmartphone als Leihgabe entbehren kann.

Btw: Einen Antivirus sollte man schon auf einem Android-Phone installieren, da es immer mehr Viren und Trojaner gibt die das System infizieren können.