huhu! =)
Zu Schnittpunkten von Graphen etc. hat noRkia schon das passende gesagt: Was genau ist das Problem?
Oh, binomische Formeln sind freundlich. =)Zitat von Harv
Sieh, eigentlich kann man auch ohne binomische Formeln auskommen, nur muss man dann mehr rechnen. Da Menschen (und Mathematiker vor allem, man sollte es nicht glauben!) von Natur aus faul sind, möchten sie weniger rechnen, und merken sich lieber die Formeln, um weniger Arbeit zu haben. Wenn man die Formeln aber nicht kann oder vergessen hat, kann man einfach ohne sie auskommen. Hier also beispielsweise:
(¾b-c)²
Ohne binomische Formeln macht man sich erstmal klar was ² heißt: x² = x • x. Hier ist das dann also:
(¾b-c)² = (¾b - c) • (¾b - c)
Jetzt möchte ich also zwei Dinge in Klammern multiplizieren. Da kann man verschieden vorgehen, am schnellsten und einfachsten ist es, einfach jedes Element aus der ersten Klammer mit jedem aus der zweiten zu multiplizieren. Also:
1. (¾b - c) • (¾b - c) | ¾b • ¾b = (9/16) b²
2. (¾b - c) • (¾b - c) | ¾b • (- c) = - (3/4) b c
3. (¾b - c) • (¾b - c) | (- c) • ¾b = - (3/4) b c
4. (¾b - c) • (¾b - c) | (- c) • (- c) = c²
Wir erhalten also vier einzelne Ergebnisse, die wir jetzt addieren, und schon sind wir fröhlich. Man beachte hierbei, dass das zweite und das dritte Ergebnis genau gleich sind. Das ist kein Zufall! Genau das ist es, was sich die binomische Formel zu Nutze macht, wie wir gleich sehen werden. Aber erstmal das hier fix beenden:
(¾b-c)² = (¾b - c) • (¾b - c)
(¾b-c)² = (9/16) b² - (3/4) b c - (3/4) b c + c²
(¾b-c)² = (9/16) b² - 2 • (3/4) b c + c²
(¾b-c)² = (9/16) b² - (3/2) b c + c²
So. Das war ja ganz schön viel Schreibarbeit. Wenn man das mit binomischen Formeln macht, geht es ein bisschen schneller:
(¾b-c)² ist gegeben. Wir wissen, weil wir voll gut in der Schule aufgepasst haben, dass
(x + y)² = x² + 2 x y + y²
Oder, wenn wir noch cooler sind, können wir sogar die Formel mit dem Minus-Zeichen auswendig (wenn nicht, auch nicht schlimm, dann kann man einfach (- c) für y einsetzen):
(x - y)² = x² - 2 x y + y²
Nehmen wir mal diese Formel. Damit die linke Seite so ausschaut wie das, was bei uns gegeben ist, also (¾b-c)², setzen wir für x den Wert ¾b ein und für y den Wert c.
(¾b - c)² = x² - 2 x y + y²
Das hat nun noch nicht allzuviel gebracht. Lustigerweise dürfen wir aber auf der rechten Seite genau dasselbe einsetzen wie auf der linken Seite - wir ersetzen also wieder x durch den Wert ¾b und y durch den Wert c.
(¾b - c)² = (¾b)² - 2 ¾b c + c²
(¾b - c)² = (9/16) b² - (3/2) b c + c²
Was für ein Wunder, wir kommen auf dasselbe Ergebnis wie oben! Lobetpreiset den Herrn... der über uns wohnt. Oder so. =)
Solche gemischten Zahlen macht eigentlich kein Mathematiker, niemals, nirgendwann. Das ist nur unglaublich verwirrend. Es soll noch Schulen geben, in denen es gelehrt wird, eben beispielsweise 5¾ zu schreiben, das ist aber extrem verwirrend und ich würde dir raten, es nie und nimmer zu tun. Wirst du ganz komisch für angeschaut. Wenn du nun aber einen Lehrer hast, der darauf besteht, dann merk dir einfach, dass du so viel an Wert aus dem Bruch „rausnehmen“ musst, bis der Zähler (das was oben steht) kleiner ist als der Nenner (das was unten steht).
Wenn du also beispielsweise (23/4) hast, dann fängst du an, herauszunehmen:
(23/4) = (4/4) + (19/4) = 1 + (19/4) = 1 (19/4) ... das ist die erste Vier.
(23/4) = (8/4) + (15/4) = 2 + (15/4) = 2 (15/4) ... das ist die zweite Vier.
(23/4) = (12/4) + (11/4) = 3 + (11/4) = 3 (11/4) ... das ist die dritte Vier.
(23/4) = (16/4) + (7/4) = 4 + (7/4) = 4 (7/4) ... das ist die vierte Vier.
(23/4) = (20/4) + (3/4) = 5 + (3/4) = 5 (3/4) ... das ist die fünfte Vier.
(23/4) = (24/4) + Bumm! ... Das hat nicht hingehauen, wenn ich aus (3/4) noch eine Vier im Zähler entferne habe ich (- 1/4) und das ist ja vollkommen blöd. Also bleiben wir bei der vorigen Zeile als Endlösung:
(23/4) = 5¾
Umgekehrt geht es natürlich genauso. Wenn dir jemand 5¾ um die Ohren schmeißt, dann weißt du, dass das eigentlich nur eine Kurzschreibweise ist für 5 + ¾, also (5•4/4) + ¾, also (20/4) + (3/4), also (23/4).
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