Logos bastelt man eigentlich immer als Vektorgrafik. Das hat halt den Vorteil, dass man sie immer nach belieben skalieren kann, ohne dass sie ihre Qualität verlieren.
Ein kostenloses Vektorgrafik-Tool wäre z.B. Inkscape. Allerdings habe ich damit wenig Erfahrung, da ich beruflich Adobe Illustrator benutze.

Vektorgrafiken benötigen ein bisschen Einarbeitungszeit, da sie nicht so funktionieren, wie gewöhnliche Rastergrafiken (z.B. JPEG, PNG). Man definiert halt nur Punkte und die Linien zwischen den Punkten berechnet der Rechner. Auch spielt es eine Rolle, in welcher Reihenfolge man die Punkte definiert (aber das sollte dich erstmal nicht stören)
Das ist auch nur recht grob gesagt, was Vektorgrafik bedeutet.

Tutorials zu Inkscape musst du mal unter google suchen. Da gibt es sicherlich einiges.