Die einfachste Lösung, wäre Router 2 als Switch (bzw. Access Point) zu konfigurieren, der dann mit Router 1 verbunden ist.
Dann befinden sich beide Router im selben Netzwerk und man spart sich den Gateway. Im Heimnetzwerken ist das kein Problem. Nur in gößeren Netzwerken würde ich, aufgrund der Fehlersuche, davon abraten.

Bei Router 2 muss dann auch noch die DHCP Funktion deaktiviert werden, da dies nun Router 1 übernimmt. (Sofern er dies nicht automatisch macht, wenn man ihn als Switch konfiguriert)

Dass beide Router die selbe SSID verwenden, wird wohl nicht möglich sein. Beide Router senden ja den sog. Beacon-Frame, der für die Lokalisierung eines WLANs wichtig ist. Wenn nun beide Router die selbe SSID aussenden, weiß die Ethernet-Schnittstelle deines Rechners nicht, wo er sich dann anmelden soll.