Summen

[Spitfire]

also mir hilft es hier, die Summe einfach mal auszuschreiben um sich klar zu machen, was in den Summanden eigentlich steht.
a) Zur Berechnung vorgehen wie mit der geometrischen Reihe.

b) Ok mach dir folgendes klar: für jedes n in der ersten Summe ist my genau n mal =1, n-1 mal =2, n-2 mal =3 usw. und 1 mal =n. Im Bruch rechts bedeutet das folgendes: bei my=n steht dort ja nur 1/(my-n+1)=1, bei my=n-1 ist das unterm Bruchstrich 2, also 1/2. wir wissen aber auch, dass für jedes n my genau 2 mal n-1 wird, 3 mal n-2 usw. in der Summe kommt dann also für jedes n 2 mal 1/2 vor, 3 mal 1/3 usw., natürlich nur solange wie n es vorgibt. Aufsummiert ergibt das jeweils wieder 1. für n=1 haben wir also 1 als Ergebnis, für n=2 ist es 1+(1/2+1/2)=2, für n=3 ist es 1+(1/2+1/2)+(1/3+1/3+1/3)=3 usw. D.h. im Endeffekt summieren wir hier nur die Zahlen von 1 bis 10 auf. Das Ergebnis ist dann hoffentlich klar.

c) Sollte mit sum_k=0_n (n über k)= 2^n leicht zu lösen sein. Dann kann man wieder wie mit der geometrischen Reihe verfahren.

a2) Das solltest du auch so schaffen, überleg dir einfach was da aufsummiert wird.

b2) Hier ist mir die Lösung auch noch eingefallen: schreib die Summanen als Matrix auf, k auf die y-Achse, n auf die x-Achse, die Diagonalen haben dann immer den selben Nenner. Im Zähler steht, da k sich kontinuierlich erhöht 1, 2, 3 usw. je nach Länge der Diagonale. D.h. wir schreiben die Summe um als Sum_n=1_m(Sum_k=0_n(k/(n+1))). Wir wissen ja, dass Sum_k=0_n(k)=n*(n+1)/2 ist. Einsetzen liefert dann Sum_n=1_m(n/2)=n*(n+1)/4

c2) cos(vPi), wechselt immer zwischen 1 und -1. Umgeschrieben ist die Reihe dann: sum_v=0_infinity((-1)^v*2^(-v)), wenn dir das weiterhilft. Da 2^(-v) monoton fällt, konvergiert die Reihe. Da die Reihe konvergiert dürfen wir immer 2 Summanden zusammenfassen (1/1 - 1/2, 1/4 - 1/8, ...) und kommen dann auf S=(1/2)+( 1/8 )+(1/32)+... Verfahren dann wieder wie mit der geometrischen Reihe. (Ergebnis sollte 2/3 sein)


Edit: Da war ich wohl 4 Minuten zu langsam^^