Ich hab tatsächlich einen Guide benutzt, ohne ist es ein leider ein bisschen trial and error. Hier mal ne kurze Zusammenfassung wie man alles freischalten kann:

Die ersten 6 Turniere lassen sich vergleichsweise leicht freischalten, dazu muss man einfach das jeweils vorherige Turnier ein paar mal gewinnen, je nach Turnier sind 3 bis 6 Siege notwendig. Auf diese Weise lassen sich der Standard Cup: Hard, Grand Cup, Grand Cup: Hard, Chocobo Cup, Cactuar Cup sowie der Youth League Cup freischalten.

Aeon Cup:
Jetzt wird es ein bisschen komplizierter. Damit der Aeon Cup verfügbar wird muss man davor alle Aeons finden und dazu ist es notwendig bestimmte Monster zu fangen, mit ihnen jeweils 4 Levels aufzusteigen und sie dann wieder freizulassen. Die Monster, die du dazu brauchst, sind folgende (in den Klammern steht jeweils welche Falle du aufstellen musst):

Mycotoxin (Small) für Valefor - Kapitel 3-5 in Zanarkand oder Mi'hen Highroad
Flame Dragon (Large) für Ifrit - Kapitel 1-4 in Besaid
Machina Striker (Large) für Ixion - Kapitel 5 in den Thunder Plains (nachdem man dort die Mission beendet hat)
Flan Blanco (Small) für Shiva - Kapitel 1 oder 2 in Bevelle oder der Stillen Ebene
Azi Dahaka (Large) für Bahamut - Kapitel 5 in Bevelle
Critical Bug (Medium) für Yojimbo - Kapitel 5 in Bevelle
Aranea (Large) für Anima - Kapitel 5 in Bevelle
Jumbo Cactuar (Large) für die Magus Schwestern - Kapitel 5 in Bikanel (nachdem du die Mission dort beendet hast, also alle Kaktoren gefunden wurden).

Hast du also alle diese Monster gefangen, ihre Fiend Tales abgeschlossen und wieder freigelassen, wird der Aeon Cup verfügbar.

Demon Cup (Fiend Cup):

Um den freizuschalten musst du wieder bestimmte Monster fangen, aufleveln (mind. 4 Level Ups) und wieder freilassen.

In Kapitel 3:
1. Zunächst fängst du ein Aeshma in Killika - aufleveln und freilassen. Aeshma wird zu Aka Manah - aufleveln und freilassen. Aka Manah wird zu Jahi, aufleveln, freilassen.
2. Das Monster Tomb in Djose fangen, aufleveln und freilassen.

In Kapitel 5:
3. Dolmen in Djose fangen, aufleveln und freilassen. Monolith in Djose fangen, aufleveln und freilassen.
4. Monolith wird zu Ultima Weapon, aufleveln und freilassen.
5. Der Fiend Cup wird verfügbar und du musst ihn gewinnen, sonst ist das Spiel vorbei (es kommt eine Cutscene, in der die Celsius explodiert).
6. Hast du den Fiend Cup gewonnen musst du zwischen Ultima Weapon oder Omega Weapon wählen, Entscheide dich für Omega, dann wieder aufleveln und freilassen.
7. Der Fiend Cup wird zu Almighty Shinra Cup, erst wenn du Shinra am Ende besiegt hast, kannst du ihn für deine Party rekrutieren. Der Almighty Shinra Cup wird wieder zum Fiend Cup.
(Optional) 8. Beende Shinras Fiend Tale und lass ihn frei um die Last Resort Palette zu bekommen. Wenn du dir danach Omegas Endsequenz nochmal im Menü ansiehst, wird der Fiend Cup erneut zum Shinra Cup und du hast wieder die Chance Almighty Shinra zu rekrutieren.

Farplane Cup:
Wird automatisch freigeschaltet, sobald du jedes einzelne Turnier davor mindestens einmal gewonnen hast.

Das war alles.