Kompaktheit von Funktionen

[gas]

Ich finde es immer ganz anschaulich, mir offene Mengen als Mengen mit ausgefranstem Rand vorzustellen, während abgeschlossene Mengen einen scharfen Rand haben. Wenn du zum Beispiel im offenen Intervall (a,b) herumspazierst, kannst du von unten beliebig dicht an die obere Grenze b herangehen, aber du erreichst sie nie, weil b ja nicht im offenen Intervall liegt.
Beim abgeschlossenen Intervall [a,b] hingegen kann man bis direkt an den Rand gehen, weil a und b zu [a,b] dazugehören. Und sobald man auch nur einen winzigen Schritt weiter geht, fällt man sofort aus dem Intervall raus.

Man könnte es auch so ausdrücken. Wenn du einen Punkt in einer offenen Menge nimmst und ein ganz kleines bisschen an ihm wackelst, dann bleibt er trotzdem noch in der Menge. An der oberen Grenze b eines abgeschlossenen Intervalls [a,b] hingegen kannst du nicht wackeln, denn sobald sie ein kleines bischen größer wird, liegt sie schon nicht mehr im Intervall.