Als anschauliches Beispiel kannst du sagen eine Menge ist beschränkt wenn du sie in einen "Sack" packen kannst. Der mathematische Sack ist halt meistens die epsilon-Umgebung. Wie schon gesagt eine Kugel/Ball wo du die Menge "reinlegst". Das heißt, den Mittelpunkt verschieben. Das Beispiel endet in unserer realen Welt, weil zumindest ich keine unendliche Fläche in meiner Wohnung habe. Auch mein Lappi ist recht endlichAber die Vorstellung ist recht anschaulich.
Das Kompement wurde ja schon am Beispiel gezeigt (Drakes hat ein Minus vergessen -kichert- :P). Ein bisschen einfacher, weil simpler weil Endlich wäre die Menge M := {a, b ,c} und die A :={a], dann ist das Komplement von A in M genannt M\A = {b,c}.
Eine Menge ist nun abgeschlossen wenn ihr Komplement im Raum offen ist. Die Frage ist, wie fit bist du nun mit Offenheit - mehr Erklärung? Vielleicht der wichtigste Stolperstein ist, die Definition.
Weil eine Menge kann offen sein oder nicht, peng. Und dann guckst du weiter ob sie abgeschlossen ist (D.h. du überprüfst ob das Komplement, also einfach eine andere Menge offen ist.) Du tust also das gleiche nochmal mit einder anderen Menge. Und damit entscheidest du nach der Definition oben ob deine erste Menge abgeschlossen ist.
Damit können Mengen gleichzeitig offen und abgeschlossen aber auch gar nichts von beidem sein. Und nebenbei kriegst du für das Komplement auch heraus ob sie offen und/oder abgeschlossen ist. Vielleicht irritierend weil du mit vergleichsweise wenig Arbeit relativ viel Information bekommst. (OK, Beispiele sind nicht super einfach aber dennoch simpel. Ich denke die reellen Zahlen ohne ein Intervall, meinetwegen R\(1;2) , wäre so mit das einfachste wo beide Komponenten offen und abgeschlossen sind.)
Genau das meinte ich am Anfang, dass abgeschl.+beschr. nicht immer gilt, in diesem Beispiel aber sehr wohl. Wenn wir richtig topologisch werden, kommen ja ganz andere Theoreme zum Vorschein aber wir sind hier ein bisschen grundlegener - ist doch nicht verkehrt.Zitat
Ich denke gerade darüber nach und einfach als ehrlicher Kritik denke ich, die Lösung ist so sicher nicht ganz korrekt. Der klassische Fall von -1 oder 2 Punkten weil es unklar ist, die Idee aber verstanden wird. Ich persönlich stoße mich nämlic an der Aussage "[gleichung] eine Ebene beschreibt und (...) deswegen nicht beschränkt ist". Wie gesagt ich weiß was du meinst aber was genau meinst du mit Ebene? Wenn du zum Erklären die Gleichung nimmst wäre ein Schluß der Richtung "7x+y=5 ist eine Linie weil sie mit 7x+y=5 beschrieben wird". Ungefähr klar geworden?Du kannst natürlich auch direkt sagen, dass Bedingungeine Ebene beschreibt und die Menge
deshalb nicht beschränkt ist, also auch nicht kompakt.
Und dann würde ich noch fragen warum eine Ebene denn nun so unbedingt beschränkt ist. Die einfachste Antwort wäre mit der allgemeinen Gleichung zu zeigen, dass es nicht klappt. Sehr elegant und eine super Lösung - es müsste halt nur ausgeschrieben werden.
Aber vielleicht hattest du das auch alles im Kopf und nur nicht hingeschrieben, ich wunderte mich halt
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