Kompaktheit von Funktionen

[Kadaj]

Eine Epsilon Umgebung ist vereinfacht gesagt eine Kugel, also alle Punkte mit maximalem Betrag Epsilon, genauer hier: http://uni-wiki.mayastudios.net/inde...silon-Umgebung
Es muss also eine obere Schranke des Betrags, hier die Länge, geben, dann ist die Menge beschränkt.

Das Komplement einer Menge M enthaltet alle Punkte des Universums die nicht in M sind. (Das Universum ist z.B. die reelen Zahlen)
Beispiel: Komplement von (∞, 4] ist gleich (4, ∞) (Achtung bezüglich den Klammern)

...

ok, aber so richtig verstanden, wie ich nun erkenne, ob sie nun abgeschlossen oder beschränkt ist, hab ich immer noch nicht. nur, wenn ich sie mir bildlich vorstellen könnte, aber das bekomm ich eh nicht hin. kannst du (oder auch jemand anderes) mir an hand der menge da oben das evt. irgendwie zeigen?

[noRkia]

man muss hier die verschiedenen definitionen der kompaktheit auseinander halten.

da die menge genau parametrisiert ist und der R^n offensichtlich ein metrischer raum,würde ich den topologischen kompaktheitsbegriff erstmal aussen vorlassen.
beschränkt und abgeschlossen kann man also hier als definition nehmen.

[gas]

Die Menge ist nicht kompakt, weil sie nicht beschränkt ist. Du kannst in einer beliebigen Entfernung vom Nullpunkt immernoch Punkte von finden.

Definiere . Das ist eine Folge von Punkten im mit für . Offenbar ist .
ist beschränkt, genau dann wenn es eine -Umgebung gibt, so dass . Aber da der Abstand gegen geht, gibt es immer Punkte , die nicht in liegen.

Du kannst natürlich auch direkt sagen, dass Bedingung eine Ebene beschreibt und die Menge deshalb nicht beschränkt ist, also auch nicht kompakt.