Also den Symptomen nach zu urteilen hört sich das für mich nach einem Netzteil-Defekt an. Wenn ich dich richtig verstanden habe, läuft die Konsole ja ansonsten einwandfrei bis sie eben gar nicht mehr läuft bzw. überhaupt keinen Strom mehr bekommt...also keine seltsamen LED Anzeigen oder Ähnliches.
Scheinbar ist es zwar noch nicht ganz kaputt, da es nach einer Abkühlphase wieder eine Zeit lang funktioniert. Schau mal im Internet- da gibts genügend Werkstätten die dir das Teil für ca. 50 € bis 60 € austauschen könnten. Da kannst du zur Sicherheit ja auch vorher mal anrufen und nochmal die Symptome schildern.