Das ist keine Redewendung, sondern eher 'ne grammatische Floskel. Ich weiß nicht, wie grammatisch interessiert Du bist, aber falls es Dir zuviel Background ist, kannst Du den folgenden Absatz einfach überspringen.

Im klassischen Japanisch gab es, um ein Verb zum Nomen zu machen (Gerundiv nennt man das) eine eigene Form, die sogenannte Rentai-Form (連体形). Die ist im modernen japanisch identisch mit der Infinitiv-Form (終止形), war es im klassischen Japanisch aber nicht. z.B. war ある früher あり im Infinitiv, aber ある in der Rentai-Form, weswegen ある also nominal oder adnominal verwendet werden konnte. Da diese Form im modernen Japanisch de facto weggefallen ist (es gibt noch genau ein Verb, bei dem sich der Infinitiv und die Rentai-Form unterscheiden, und das ist 愛す), mußte man sich was neues ausdenken, und das sind Pseudo-Nomina. Pseudo-Nomina sind solche, an die man Verben in ihrer Rentai/Infinitiv-Form anschließen kann, und die dadurch deutlich machen, daß es sich um ein nominalisiertes Verb handelt. Die schriftsprachliche/hochsprachliche Version ist 事（こと）und die umgangssprachliche Version ist の. Also, zum Beispiel, wenn ich 書く, schreiben, nehme, und dann 書く事 oder 書くの daraus mache, dann bedeutet es “das Schreiben.”

という hat im Grunde eine beschreibende Funktion, um etwas (kann ein Verb sein, aber auch alles andere) an ein Nomen oder Pseudo-Nomen anzuschließen, und ist eine, ich nenne es mal “ausführliche Version” der Rentai-Form. Also 書くの oder 書くというの sind identisch in der Bedeutung, aber letzteres ist stärker in die Richtung “diese Sache, das Schreiben,” orientiert. In der Übersetzung läßt man das meistens weg, weil die deutsche Sprache diesen Unterschied eigentlich nicht macht — darum klingt meine Pidgin-Übersetzung auch extrem holprig. Im Englischen würde man mit “this thing called writing” noch relativ nah an das Original rankommen, aber selbst das klingt ziemlich seltsam im Sprachgebrauch.

In der Anwendung würde das zum Beispiel so aussehen:
作家だから、書くというのは就職なの。
Ich bin ein Autor, und das Schreiben ist meine Profession.

Dein zweites Beispiel mit dem とき ist das gleiche, nur, daß とき（時）ein Pseudo-Nomen für Zeiträume ist. 書くというとき wäre also so was wie “die Zeit, zu der man schreibt.” Da gibt es zig von diesen Pseudo-Nomina, die alle andere Nuancen haben. Alleine für die Zeit gibt es neben とき noch ころ (die Nuance ist aber so fein, daß sie mMn. zu vernachlässigen ist), und, wenn man ganz penibel ist, ist とき auch noch was anderes als ときに und ころ was anderes als ころに.

Übrigens solltest Du という nicht mit と言う verwechseln. Aussprache ist identisch, aber letzteres bedeutet “sagen,” mit dem と als Quotativ-Partikel um das Gesagte zu markieren (entspricht grob dem Konjunktiv zur Markierung indirekter Rede im Deutschen, kann aber auch direkte Rede markieren, dann setzt man die Rede jedoch meistens in Anführungszeichen [außer man heißt Murakami Haruki und schreibt surrealistische Romane, dann tut man das nicht]). いう／ゆう ist ein sehr vielseitiges Verb, das von “sagen” über “nennen” (und somit auch “genannt”) bishin zu “erklären” und “berichten” einfach alles heißen kann, was irgendwie mit Mitteilung zu tun hat.
Es gibt für jede Nuance ein eigenes Kanji, bis auf 言う für “sagen” ist aber fast keines von denen mehr im alltäglichen Gebrauch, darum muß man die Bedeutung von Kana-いう aus dem Kontext erschließen. Das Kanji für die いう in Deinem Beispiel wäre 云う, aber das sieht man eigentlich gar nicht (außer in Songtexten von Shiina Ringo, und wenn ich es benutze, aber ich bin auch 'n Kanji-Geek, also nimm Dir an mir kein Beispiel).