Ich habe eine Ebenenschar mit Parameter k im R³:
E: kx + k²y + 2z = k²
Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der z (x3) -Achse 30° beträgt. Diese soll man ermitteln.
Ich habe versucht, Skalarprodukt : [ Länge von (k/k²/2) * Länge von (1/0/0) ] = cos 30 zu machen und nach k aufzulösen. Der GTR findet aber keine anständigen Lösungen. Ich hab das Gefühl, (1/0/0) ist falsch. Er ist ja orthogonal zur z-Achse.
Wo liegt also der Fehler?
Wäre die Gleichung für das Skalarprodukt nicht eher?
Geändert von Drakes (10.02.2010 um 15:50 Uhr)
Ja, das ist das, was ich schrieb, nur, dass mit dem Nenner multipliziert wurde.
Also bei dir sehe ich eher nur
Geändert von Drakes (10.02.2010 um 15:48 Uhr)
Das wird dann zu:Zitat
Da oben hast du aber keinen Bruch aufgeschrieben.
Wie auch immer du musstverwenden, das entspricht ja der z-Achse, dann gehts auch.
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Geändert von Drakes (10.02.2010 um 16:01 Uhr)
Moment mal jetzt.
1. Die Lösung ist mir bekannt, sie ist.
2. Warum soll ich jetzt die z-Achseverwenden? Da ich den zur Ebene orthogonalen Normalenvektor nehme, muss ich auch einen zur z-Achse othogonalen Vektor nehmen, nicht die Achse selber.
Zwischen der Ebenen und dem Normalenvektor beträgt der Winkel 90°, zwischen der Ebene und der z-Achse soll der Winkel 30° betragen.
Dann beträgt der Winkel zwischen Normalenvektor und z-Achse 90°-30°=60°.
Das führt zu der Gleichung
mit Normalenvektor n und dem dritten Einheitsvektor.
Tip: Beim Lösen der Gleichung hat die Subtituation k²=u geholfen. Überdenke am Ende warum es trotzdem nur 2 Lösungen gibt.
Es gibt unendlich viele zur z-Achse orthogonale zueinander nicht kolineare Vektoren. YoshiGreen hat recht; man muss 60° nehmen.
2. Warum soll ich jetzt die z-Achse
Ich habe eine weitere Geometrie-Frage.
Die Punkte A(3/2/0), B(0/3/2) und C,k(1+3k/2-k/4-2k) legen eine Ebene fest. Diese soll man bestimmen (in Normalenform). Ich habe die LÖsung, da kommt kein k vor. Bei mir ist aber eines dabei.
Spannvektoren: (-3/1/2), (-2+3k/-k/4-2k)
Mit den beiden habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt und versucht, es zu lösen. Aber k fliegt nicht raus. Stimmen die Vektoren?
Hallo,
also, Deine Spannvektoren sind richtig.
Wenn, dann hast Du Dich beim Lösen des LGS vertan.
Aber einfacher als mit einem LGS kannst das Problem lösen, wenn Du das Kreuzprodukt verwendest, falls ihr das schon kennt.
Der Vektor, den man mit dem Kreuzprodukt berechnet, steht nämlich senkrecht zu beiden Vektoren - also ist er in diesem Fall gerade der Normalenvektor (eventuell noch normieren!).
Geändert von Sylverthas (11.02.2010 um 23:12 Uhr)
Kreuzprodukt hatten wir leider nicht, habe es aber auch so geschafft, war tatsächlich ein Rechenfehler. Danke.
Eine weitere Frage:
Das Dreieck ABC,k mit A(3/2/0), B(0/3/2) und C,k(1+3k/2-k/4-2k) ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide. S,r(-2r/3+r/4) ist die Spitze der Pyramide.
Wie begründet man, dass das Volumen dieser Pyramide unabhängig von k und r ist?
Ich habe es jetzt nicht überprüft, aber wahrscheinlich indem die Grundfläche und die Höhe gleich bleibt, Grundfläche bleibt gleich, wenn der Abstand von C zu der Strecke/Geraden AB immer gleich bleibt und S 0° zur Ebene ABC hat.
C,k und S,r sind ja gewissermassen (mathematisch nicht ganz korrekt) Geraden C,k = (1/2/4) + k*(3/-1/-2)
S,r = (0/3/4) + r * (-2/1/0)
Richtungsvektor (3/-1/-2) mit AB vergleichen. Kollinear?
Winkel ABC zu (-2/1/0) = 0? (Richtungsvektor von S,r)
Ich hoffe, der Gedankengang ist halbwegs verständlich ^^
Also bei der Grundfläche ist die Dreiecks-Grundseite immer der Vektor von A nach B und die Höhe immer gleich, weil die Gerade, auf der alle C,k liegen parallel zur Geraden AB ist. Richtig?
Das mit der Höhe verstehe ich nicht. Was ist der Winkel ABC?
Ja, aber ich habe es nicht überprüft.
Ich meine den Winkel(Ebene ABC, Gerade auf der alle S,r liegen). Meiner Meinung nach kannst du nun irgend ein C nehmen, um die Ebene ABC zu bekommen, da immer die gleiche Ebene rauskommen sollte.
ABC ist immer die selbe Ebene. Denn Die Gerade C,k ist parallel zu AB, das habe ich nachgeprüft. Die Höhe ist also immer die selbe, weil sich die Ebene nicht ändert und die z-Koordinate der Spitze auch nicht, oder?
Das hängt von der Ebene ab. Die Gerade von S,r muss auch "parallel" zur Ebene sein.
S,r ist parallel zur Geraden BC,1. Das habe ich in einer Aufgabe davor geprüft. Also ist sie parallel zur Ebene, oder?
Ja, aber das muss in anderen Fällen nicht so sein, dass S,r parallel zu AB BC oder AC ist. Die einfache Lösung ist, glaub ich, zwei Variablen z.B. m und n zu finden damit Richtungsvektor von S,r = m * AB + n * AC was soviel bedeutet wie, die Richtung von S,r ist zusammensetzbar aus Teilen von AB und AC. (Die Reichtungsvektoren der Ebene)
Gut, das habe ich verstanden.
Und eine weitere Frage: Wie bestimme ich die Gleichung der Kugel, auf der A, B und C,1 liegen? Der Mittelpunkt liegt auf der Ebene durch ABC,1 ; nämlich
2x + 4y + z = 14.
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