Einige Mathematik-Fragen (u.a. Vereinfachungen)

[YoshiGreen]

Anderes k? j? Trennen? Mal ganz langsam:

Zeit sparen: Versuche allgemeine Schritte zu machen:

Ganz in Ruhe die Ableitung bilden:


Puh! Aber wenigstens haben wir nun , fehlt nur noch . Zum Glück müssen wir das nur noch einsetzen:
.

Laut Aufgabe soll nun gelten mit . Gut das Einsetzen hast du dann ja übernommen. Ich will damit zeigen, dass man mit vergleichsweise wenig Rechenaufwand direkt zum Ziel kommt ohne unschuldige k in j zu verwandeln.

Wie schon geschrieben kannst du beim zweiten Summanden ein k Ausklammern, kürzen und dich übers Ergebnis freuen. Als Bonus kannst du aber auch schon vorher die ganze Gleichung mit multiplizieren damit die Wurzeln im Nenner wegfallen. (Die andere Seite der Gleichung bleibt davon ja unberührt).

Für b) kannst Du jetzt verwenden, dass die Tangenten jeweils ein umgedrehtes Vorzeichen haben, dass heißt die eine Tangente ist fallend, die andere steigend - und das bildet ein Dreieck mit der x-Achse.

...

Frage falsch verstanden. 0 Punkte.
Auch 2 Geraden mit postiver/negativer Steigung können ein Dreieck bilden. Die Frage ist warum ist genau dieses Dreieck gleichschenklig?
In a) hast du ja gezeigt, dass die absolut Beträge der Ableitungen an der Stelle x_s gleich sind, nur die Vorzeichen unterschiedlich. Was genau sagt nochmal der Wert der Ableitung. ""Wie weit"" haben es beide Graphen noch zur x-Achse und welche ist ""schneller""? Klar worauf ich hinaus will?

[Sylverthas]

Frage falsch verstanden. 0 Punkte.
Auch 2 Geraden mit postiver/negativer Steigung können ein Dreieck bilden. Die Frage ist warum ist genau dieses Dreieck gleichschenklig?
In a) hast du ja gezeigt, dass die absolut Beträge der Ableitungen an der Stelle x_s gleich sind, nur die Vorzeichen unterschiedlich. Was genau sagt nochmal der Wert der Ableitung. ""Wie weit"" haben es beide Graphen noch zur x-Achse und welche ist ""schneller""? Klar worauf ich hinaus will?

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Natürlich können auch 2 Gerade mit gleichem Vorzeichen mit der x-Achse und ihrem Schnittpunkt ein Dreieck bilden, aber das ist ja nicht der Fall in dieser Aufgabe - und die Tatsache, dass das eine die negative Steigund des anderen ist, ist ja hier relevant für die Aufgabe
(keine Sorge, ich habe die Aufgabe schon richtig verstanden xD).

So, nun, was ich mit dem Trennen der Variablen gesagt habe:
Du satzt in ja zunächst mal k=1;
Nun setzt du aber ein, was aber für k=1 nun gerade 1 wäre - in der vorigen Aufgabe wurde für die Schnittstelle aber gerade k ungleich 1 gewählt - daher ist hier soweit ich das sehe schon ein Problem mit den Variablen; man kann nicht eine Variable setzen, und dann alle gleichnamigen einfach "ungesetzt" lassen ^^

Vielleicht konnte ich das jetzt besser erklären, wo ich das Problem sehe (und wieso ich das j da eingeführt hab^^)

[Sylverthas]

Ach, ein wenig muss man die Leute doch auch denken lassen

edit: Und ja, das stimmt schon - aber hier wurde es ja unter Anderem versucht^^
Und mathematisch korrekt erscheint es mir sowieso nicht xD

[Expresseon]

Hallo, ich habe wieder mal eine Frage.

Wie kann man gebrochenrationale Funktionen möglichst trickreich umschreiben, um schneller die Asymptoten zu sehen?

Beispiel:

Habe ich geändert in:

Jetzt sieht man schnell, dass bei 1 eine waagrechte Asymptote vorliegt weil der BVruch > 0 ist. Man sieht auch, dass es keine senkrechten Asymptoten gibt, aber das sah man ja schon vorher.

Kann man diesen Trick oder andere irgendwie an diesem Beispiel anwenden: ?

[MaxikingWolke22]

einfach alles durch x teilen, bis man die exponenten so niedrig wie möglich und sinnvoll hat:

für x->inf haben wir f(x)=x/(1-4/x²), also alles durch x² geteilt. man sieht, dass 4/x² für x-> infinity gegen null gehen muss, also ist die asymptote etwa x/1 = x

[Expresseon]

Also eine schiefe Asymptote y=x? Das würde die punktsymmetrische Funktion schneiden (bzw. sie teilen weil bei x=0 eine Lücke ist)??

[eoc]

Das Schneiden von Asymptoten und Funktion (bzw. Graph der Funktion) ist lokal kein Problem, da sie ja lediglich die Konvergenz gegen Unendlich beschreiben (bzw. das in der Schule garantiert ausschließlich tun) - die Asymptote ist korrekt. Und bei ist mit auch keine Definitions- oder sonstige Lücke

[Expresseon]

Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.

[.matze]

Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.

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Bei 0 ist keine Definitionslücke, sondern bei 2 und -2, da man wenn (x^2-4)=0 ist nicht teilen darf.

[Expresseon]

Wenn ich die Funktion zeichne gibt es aber gar nichts für x>+/-2.

[.matze]

Wenn ich die Funktion zeichne gibt es aber gar nichts für x>+/-2.

...

Dann setz doch mal drei ein (3^3/(3^2-4)=5,4) und du siehst, das du wenn du keine Werte für x>2 kriegst was falsch gemacht haben musst.

[MaxikingWolke22]

Also eine schiefe Asymptote y=x? Das würde die punktsymmetrische Funktion schneiden (bzw. sie teilen weil bei x=0 eine Lücke ist)??

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Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.

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1. Bei null ist keine Lücke, sondern eine einfache Nullstelle. Es ergibt sich auch keine Lücke! Da kann geteilt werden, was man will:


2. Die Asymptote versteht sich beinahe von selbst. Je größer die Funktionswerte absolut werden, desto näher gehen sie an die Asymptote ran. Salopp gesagt: Wenn man für x +-Infinity einsetzt, hat man Infinity³/(Infinity²-4), und weil die vier bei Infinity den Braten auch nicht fett machen, einfach Infinity³/Infinity². Wie gesagt, salopp gesagt. Wir setzen eigentlich erst a oder sowas ein, kürzen entsprechend und lassen dann a gegen infinity laufen.

[Zelretch]

Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.

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Doch, das wird wohl ein Eingabefehler sein

Das blaue auf .matze's Graph ist die Funktion y=x und das schwarze die Kurve für . Wie du sehen kannst nähert sich die Kurve immer mehr der Funktion y=x umso weiter man nach Rechts/Links im Graphen geht. Also ist y=x die Schiefe Asymptote für diese Gebrochen Rationale Funktion.

[Expresseon]

Also diese Funktion hat dann aus den obigen Gründen die waagrechte Asymptote 2, oder?
Ist dann die Polstelle bei 0? Weil der Zähler wird für x=0 ja 0.

[Drakes]

Also diese Funktion hat dann aus den obigen Gründen die waagrechte Asymptote 2, oder?
Ist dann die Polstelle bei 0? Weil der Zähler wird für x=0 ja 0.

...

Die Polstelle ist bei der Definitionslücke. Eine Definitionslücke entspricht dem Fall durch 0 zu dividieren. Daher ist der Nenner bei der Polstelle gleich 0.

Lösung ist komplex daher gibts, im reelen Zahlenraum keine Polstelle.

[MaxikingWolke22]

Ich darf mal die folgende Datei anhängen, die ich selbst als Abiturvorbereitung erstellte. Dir scheinen ja Grundlagen zu fehlen; sogar die Definition von Polstelle und elementare Bruchrechenregeln... Ich hoffe sehr, es hilft. Viel Glück.Weiterverbreiten ohne Zustimmung verboten.