4 Gleichungen:
4 Gleichungen:
Geändert von Drakes (12.02.2010 um 16:35 Uhr)
Wer sagt, dass die Punkte vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben?
Sie liegen doch auf der Kugel, und das ist nunmal die Eigenschaft die Punkte auf einem Kreis bzw einer Kugel zum Mittelpunkt haben, sie haben alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt.Zitat von Expresseon
Stimmt.
Wie lauten dann meine Gleichungen?
und das für jeden der 3 Punkte?
Wie löse ich dann die 4 Gleichungen nach x,y,z auf?
Von hand ist das recht mühsam.
Ich würde die 2. Gleichung, also das d, in der 3. und 4. Gleichung einsetzen, dann hast du noch 3 Gleichungen (1., 3., 4.) mit den Unbekannten x, y und z. Dann equivalent fortfahren, aber ob das von Hand wirklich gut geht... mein GTR hatte für die 4 Gleichungen sogar lange.
Also:
I
II
III
IV
Und jetzt? II naach x auflösen und in III und IV einsetzen??
Entschuldigung, hatte falsche Nummerierung im Kopf. Ich meinte 1. in 2. und 3. :Also:
I
II
III
IV
Und jetzt? II naach x auflösen und in III und IV einsetzen??
Vielleicht gibt es auch einen kürzeren Weg, als so weiterzumachen, wäre wünschenswert.
Hallo,
also, so, wie ich das sehe, befinden sich ja alle 3 Punkte auf einer Ebene (natürlich^^) - man könnte doch jetzt den Umkreis des Dreiecks bestimmen -
auf diesem liegen alle 3 Punkte und der Mittelpunkt ist auf der Ebene.
Zunächst bildet man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC1, dieser liefert einem den Kreismittelpunkt M.
Der Radius r ergibt sich aus dem Abstand von M zu einem der Punkte A,B oder C1.
Wenn man diesen Radius nun als den einer Kugel auffasst, so hat man eine Kugel konstruiert, auf welcher alle 3 Punkte liegen, mit Mittelpunkt auf der von ABC1 aufgespannten Ebene.
Zumindest war das mein 2. Ansatz, nachdem ich gesehen habe, wie kompliziert der erste (also der, den ihr hier auch besprochen habt^^) wird.
Hoffe, dass ich etwas helfen konnte^^
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist doch nicht unbedingt der Dreiecksmittelpunkt, oder?
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Habe es bereits mit der ersten Methode gelöst: M(2/2/2), r =
Kann mir jemand sagen, ob meine Schnittpunkte der Kugel mit der Geraden (-2/4/4) + t * (-2/1/0) stimmen?
P(1,1/2,4/4), Q(2,9/1,6/4)
edit: Nein, der "Mittelpunkt" vom Dreieck muss dies nicht sein, dennoch ist es der Mittelpunkt vom Umkreis, dem Kreis, welcher durch alle 3 Ecken geht; das kann man sich so veranschaulichen:
Die Mittelsenkrechte mAB halbiert ja die Seite AB und steht senkrecht auf ihr.
Das bedeutet aber auch, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand von A und von B hat.
Wenn man nun die Mittelsenkrechte von BC betrachtet, gilt hier das gleiche: jeder Punkt darauf hat den gleichen Abstand von B und von C.
Schneidet man nun diese beiden, so gilt im Schnittpunkt: der Abstand vom Schnittpunkt zu A, B und C ist jeweils gleich groß.
Das heißt wiederum, dass der Schnittpunkt gerade der Mittelpunkt des Kreises ist, welcher durch A,B und C geht.
PS: Aber gut, dass Du die Aufgabe lösen konntest!
Geändert von Sylverthas (13.02.2010 um 10:58 Uhr)
Ich habe noch eine andere Frage zum Beschreiben von Ebenen.
Beispiel: Die Ebene x - z = 0. Man soll die Lage beschreiben.
Ich würde sagen, wegen x = z handelt es sich um die xz-Ebene. Stimmt das? Und wie kann ich allgemein gut die Lage beschreiben? Achsenschnittpunkte suchen und dann die Ebene vorstellen?
Das sehe ich anders. Offenbar macht der y-Wert keinen Unterschied, da er nicht Bestandteil der gleichung ist. Damit muss die Ebene parallel zur y-Achse sein. Die xz-Ebene ist leider senkrecht zu selbiger.
Es ist die Ebene, die durch die y-Achse und den Punkt (1,0,1) z.B. aufgespannt wird, also sie enthält die winkelhalbierende zwischen x- und z-Achse, bzw. den Vektor (1,0,1), und den Vektor (0,1,0) (y-Achse).
Allgemein: so etwas herausarbeiten, etwa Koordinatenursprung enthalten, parallel zu einer der Koordinatenachsen, Schnittpunkte mit den Achsen (für den Schnittpunkt mit einer Achse die anderen Werte der Gleichung gleich Null setzen und anschließend nach der Koordinate der zu untersuchenden Achse auflösen)?
Deine Vermutung lässt sich einfach widerlegen, indem man für y=a mit a!=0 einsetzt. Dann ist die Gleichung erfüllt, aber der Punkt kann dennoch nicht in der xz-Ebene liegen. Damit sind xz-Ebene und gesuchte Ebene schon mal nicht identisch.
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Geändert von MaxikingWolke22 (13.02.2010 um 21:26 Uhr)
Ok, also sie enthält die y-Achse und steht mit 45° auf der xy-Ebene. Habe ich es jetzt richtig verstanden?
nein, sie enthält die y-Achse, steht mit 90°, also senkrecht, auf der xz-Ebene, und jeweils zu 45° auf x- und z-Achse, und zwar so, dass sie den Vektor (1,0,1) enthält.
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Entschuldigung mal, aber das ist doch genau das was ich gesagt habe. 45° zur xy-Ebene. Das sind doch 45° zur x- und zur z-Achse.
das, was du beschreibst, könnten zwei ebenen sein, daher muss der Vektor noch hineingebracht werden.
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Achso es könnte die sein, die in auf der negativen xy-Ebene steht. Naja ich hab jedenfalls verstanden, welche gemeint ist.
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