Mathe, 1. Semester: Gruppenhomomorphismen (R,+)->(Z,+)

[dead_orc]

Hm, schwierig. Könnt ihr Abzählbarkeit verwenden? Falls ja, würde ich damit argumentieren, dass R überabzählbar ist und dass deswegen a: R → Z nicht injektiv sein kann. Dann würde ich mir zwei Elemente suchen, wobei ist. Dann ist nämlich , was den Regeln eines Gruppenhomomorphismus entspricht, da hoffentlich nicht das neutrale Element ist. *kratz*

Etwas verzwickt, und ich steig selbst noch nicht so ganz durch. Vielleicht hilfts dir ja aber... ^^'

Edit: Yieks, das TeX-Rendering hier sieht ja grausam aus. Das war auch mal besser...

[gas]

Naja, die Abbildung ist ja nicht injektiv, deshalb könnte r2-r1 durchaus im Kern liegen...

Folgendes müsste funktionieren:

Angenommen f : R-->Z ist ein Homomorphismus. Sei x in R.
Es gilt n*f(x/n) = f(x) für alle n in N.
Entweder gibt es ein n, so dass f(x/n)=0, dann ist auch f(x)=0.
Oder f(x/n) ungleich 0 für alle n in N. Dann wird f(x) von jeder natürlichen Zahl geteilt, also f(x)=0.
Also insgesamt f=0. #

Ich hatte mir erst einen viel komplizierteren Beweis ausgedacht, aber so geht's viel einfacher.