Äquivalenz und Peanos Axiome

[MaxikingWolke22]

guten Tag,

Kann mir jemand damit helfen:

"Let X be a nonempty set. Define, for any two subsets A, B (Teilmenge [C mit Strich drunter]) X, that A ~ B if and only if A (Teilmenge) B."

...

Und

"Recall from class that we studied a binary operation F : lN [natürliche Zahlen]x lN -> lN with the following properties:

(A1) F(a,1) = s(a) for all a € [Element] lN,
(A2) F(a,s(b)) = s(F(a,b)) for all a,b € lN,

where s : lN -> lN is as in Peano's axioms.

Prove that if F(a,c) = F(b,c) for some a,b,c € lN, then a = b"

...

Ich denke, dass die Sprache hier kein großes Problem ist? Die erste Aufgabe ist mir völlig unbegreiflich, bei der zweiten möchte ich das c rauskürzen, aber das geht ja nicht .

Wie geht das? Vielen Dank im Voraus!

[noRkia]

die erste raff ich auch nich weil ich nicht weis was A~B heissen soll.
schliesslich wurde ja gar keine äquivalenz relation definiert.

bei der 2 soll gezeigt werden das die abbildung eine injektion ist.
es gibt also keine verschiedenen elemente (a,c),(b,c) so das f an ihrer stelle den selben wert annimmt.

injektivität zu zeigen ist (im gegensatz zur surjektivität) meistens sehr leicht.
dazu machst du einen widerspruchsbeweis.
ausserdem ist die eigenschaft von S(x) eine peano folge zu sein ein hinweis darauf das du induktion anwenden musst.
ich hasse induktion und verzocke es immer aufs neue,also bleibt dieser spass für dich,aber ansonsten hab ich es gelöst denke ich

wenn F(a,c) = F(b,c) dann ist nach verwendung von von A2 und der tatsache das S(x) eine peanofolge ist und über das bilden von nachfolgern definiert ist:

F(a,c) = F(a, S(c-1)) = S(F(a,c-1)) = S(F(b,c-1)) = F(b, S(c-1)) = F(b,c)

der wichtige teil hierbei ist:

S(F(a,c-1)) = S(F(b,c-1))

nun der magische satz(der heisst nicht echt so,den hab ich nur so gennant):

->weil S(x) eine peanofolge ist ist S(x) injektiv

es folgt F(a,c-1) = F(b,c-1)

nun sind wir wieder so weit wie am anfang nur das statt c dort c-1 steht.
jetzt kommt deine induktion über c und dann steht unten:

F(a,1) = F(b,1)

nach A1. ist das aber

S(a) = S(b)

wieder der magische satz und dann folgt:

a = b

tadaaaa

[MaxikingWolke22]

aha. Immerhin bin ich jetzt soweit, dass Lösungen mir logisch vorkommen.


ernsthaft; das erscheint jetzt klar...

vorher wurde für A~B übrigens definiert:
(a,b)~(a',b') if a+b'=a'+b.

Verwirrt hat mich natürlich, dass wir hier jetzt ein großes "A" haben.

[noRkia]

achso dann ist die 1.natürlich was ganz anderes.


A~B wenn für alle (a,b) € A und alle (a',b') € B gilt: (a,b)~(a',b')

ich wüsste aber nicht wieso die mengen dafür teilmengen von einander sein müssen ;/