Differentialgleichungen: df = [I]d[/I]f?

[MaxikingWolke22]

Hallo,

Vielleicht kann mir mal einer der Mathematiker im Forum mehr oder besser weniger kurz mitteilen, was in der Mathematik im Bereich der Differentialgleichungen der Unterschied zwischen
df/dx bzw. dx/dy bzw. d/dz auf der einen und ähnlichen "Brüchen" auf der anderen Seite, die etwa so aussehen:
, bzw. diesem Symbol, das aussieht wie eine umgedrehte sechs und entfernt an ein kleines delta erinnert.

Außerdem weiß ich zwar, dass df/dx != f/x (), aber wofür steht das o.g. Symbol, und wie genau muss ich damit rechnen?

Vielleicht kennt ja jemand eine gute Seite im Internet, wo man über die Basiszusammenhänge mal aufgeklärt wird.

Max

[TheBiber]

Eins vorweg: Deine Fragen haben mit Differentialgleichungen nichts zu tun. Es geht lediglich um Definition und Notationen in der Differentialrechnung.

bezeichnet die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x als Funktion von x. Also ganz normal der Grenzwert des Differenzenquotienten:

ist dasselbe, mit dem y wird einfach angetönt, dass man die Funktion f(x) als Graphen y=f(x) auffasst.

ist der Ableitungsoperator nach x. Ein Operator hat als Input eine Funktion und liefert als Output eine neue Funktion. Der Ableitungsoperator macht in diesem Falle aus einer Funktion die Ableitung.

ist die sogenannte partielle Ableitung. Wenn du eine Funktion mehrerer Variablen hast, z.B. , dann kannst du die Funktion partiell nach einer der drei Variablen ableiten, indem du die anderen Variablen als Konstanten betrachtest:





Dementsprechend sind die die partiellen Ableitungsoperatoren nach den Variablen .

Wozu hat man für die partiellen Ableitungen ein neues Symbol eingeführt? Das liegt daran, dass die Variablen der Funktion möglicherweise voneinander abhängen können und die totale Ableitung nach einer Variablen dann nicht dasselbe ist wie die partielle Ableitung.

Beispiel:



Hier ist x nochmals eine Funktion von t. Bildet man die partiellen Ableitungen, hat man:




Während hingegen die totale Ableitung nach t anders aussieht, da in diesem Falle x wie eine Funktion behandelt wird:



Wenn ich mich recht entsinne. Die Details weiss ich leider nicht mehr, man bräuchte jedenfalls die sogenannte verallgemeinerte Kettenregel. Wenn dich die Themen mehr interessieren, empfehl ich dir irgendeinen Analysis-Grundkurs einer Uni oder entsprechende Bücher. Die von Lothar Papula haben sich als didaktisch populär herausgestellt. Auch wenn die mathematische Denkweise in diesen Büchern etwas zu kurz kommt, verstanden haben wird man es am Ende.