hm, ich muss sagen, ich find die aufgabenstellung auch etwas wirr... naja, ich versuch nochmal, etwas mitzurechnen.Zitat von Juanez
Hi,
da wir in der Schule gerade recht viel Stoff nachholen müssen, haben ich etwas Probleme mit dieser Aufgabe.
Für jedes t (ist element aller reellen Zahlen außer 0) ist eine Funktion gegeben durch f t (x)=1/2x³-tx²+1/2t²x.
b) Eine Parabel zweiter Ordnung P t geht durch die Punkte von K t mit der x-Achse und berührt K t im Ursprung. Bestimme die GLeichung + beweise, dass sie keine weitern Punkte zusammmen haben.
c) K t teilt die von P t und der x-Achse eingeschlossenene Fläche. In welchem Verhältnis stehen die Inhalte der Teilfläche?
Also mein genaues Problem ist, dass ich noch keinen richtigen Lösungsansatz hab. Ich weiß auch nich genau, was ich mit t anfangen soll...#
Wäre dankbar über einige gute Ansätze
Danke schonmal im vorraus =)
b) Eine Parabel zweiter Ordnung P t geht durch die Punkte von K t mit der x-Achse und berührt K t im Ursprung. Bestimme die GLeichung + beweise, dass sie keine weitern Punkte zusammmen haben.
hm, ich verstehe das so, dass Pt und Kt dieselben nullstellen haben und bei x=0 den selben funktionswert und die selbe steigung haben (sonst würden sie sich nicht berühren). um also weiterzukommen, würde ich als erstes die nullstellen Kt bestimmen.
Nullstellen
0=1/2x³-tx²+1/2t²x. |x ausklammern
0=x(1/2x²-tx+1/2t²)
damit der term 0 ergibt, muss einer der faktoren des produktes 0 sein, also entweder x oder die klammer. da siehst du schon, dass x1=0
jetzt ermitteln wir, mit welche x die klammer 0 ergibt:
0=1/2x²-tx+1/2t² |*2
0=x²-2tx+t² |AUflösen mit p-q-Formel
x2=t+(t²-t²)^1/2 x3=t-(t²-t²)^1/2 |Anmerkung: mit (...)^1/2 ist wurzel aus (...) gemeint
nun sieht man, dass x2=x3=t gilt. also hat Kt(x) nullstellen bei x1=0 und x2=t.
nun müssen wir noch die steigung für x=0 von Kt(x) bestimmen.
kt'(x)=3/2*x²-2*t*x+1/2t²
kt'(0)=1/2t²
jetzt haben wir 3 bedingungen für pt(x)
I pt(0)=0
II pt(t)=0
III pt'(0)=1/2t²
ich würd norkia hier widerprechen und als allgemeine parabelform f(x)=a*x²+b*x+c (und deren ableitung f'(x)=2*a*x+b nehmen, weil wir ja drei bedingunge haben.
mit dieser allgemeinen form, deren ableitung und den 3 bedingungen kannst du dann ein gleichungssystem aufstellen, indem du die werte jeweilst einsetzt. man sieht schon an I, dass c=0 und an III, dass b=1/2t² ist. wenn du diese informationen in II einsetzt:
0=a*t²+1/2*t²*t+0
a=-1/2*t
also ist Pt(x)=-1/2t*x²+1/2t²*x
Um jetzt noch zu beweisen, dann Pt(x) und Kt(x) keine weiteren gemeinsamen punkte haben, setzt man sie gleich:
1/2x³-tx²+1/2t²x=-1/2t*x²+1/2t²*x|+1/2t*x²-1/2t²*x
1/2x³-1/2tx²=0|ausklammern von x²
x²(1/2x-1/2t)=0
man sieht hier eigentlich schon, dass x1=0 und x2=t, also haben die beiden funktionen keine weiteren gemeinsamen punkte und alles ist super!qed
so, auf b hab ich jetzt iwie keine lust, weil ich gerade sehe, dass der thread schon über ne woche alt ist "-.-
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