Knobelaufgabe aus dem Matheunterricht

[noRkia]

ich erkläre die aufgabenstellung ganz einfach damit möglichst viele leute mitmachen können

3 objekte,zb zahlen,lassen sich genau in 6 varianten anordnen.

a) 123 d) 312
b) 213 e) 132
c) 231 f) 321

das "vorzeichen",sgn(y) gennant,ist bei a,b,c,d postiv und bei f und g negativ.

die funktion f(x,y),in die für y zb. a,b..,f eingesetzt werden kann macht folgendes:
sie sortiert die einträge eines 3 zeiligen vektors x,so um wie eben die umsortierungs vorschrift von a,b...,f ist UND nimmt den vektor mit dem vorzeichen sgn(y) von a,b...f mal.

aufgabe:finde jeweilis einen vektor x für den eingesetzt in f(x,y),für a,b...f als y gilt:

1. Es kommt als Ergebnis insgesamt nur 1 Vektor raus
2. Es kommen als Ergebnis insgesamt 2 Vektoren raus
3. Es kommen als Ergebnis insgesamt 3 Vektoten raus
4. Es kommen als Ergebnis insgesamt 6 Vektoren raus


wieso stelle ich das?
ganz einfach.ich bin gestern abend auf die lösung für 2. nicht gekommen und hoffe das es jemand rausfindet

[TheBiber]

Irgendwie muss ich es mir trotzdem etwas mathematischer formulieren.
y ist die Menge aller Permutationen von 3 Elementen.
x ist ein Vektor aus einem dreidimensionalen, wahrscheinlich reellem Vektorraum.
f(x,y) generiert aus x einen neuen Vektor, indem y auf den Komponenten ausgeführt wird und negiert ihn bei 2 bestimmten Permutationen zusätzlich. Die Aufgabe besteht nun darin, ein x zu finden, bei dem für alle y genau n verschiedene f(x,y) herauskommen, wobei n = 1,2,3,6.

Klingt irgendwie nach ausprobieren.

Für n = 1 würde ich den Nullvektor nehmen, da kann man permutieren und negieren wie man will, man kriegt wieder den Nullvektor heraus.

Für n = 2 passt z.B. x = (a,a,a), wobei a eine beliebige reelle Zahl ungleich null sein kann. Die Permutation lässt x unverändert, deshalb gibt es nur zwei Ergebnisse: f(x,y) = x und f(x,y) = -x

Für n = 6 kannst du x = (a,b,c) nehmen, wobei a, b und c jeweils verschiedene reelle Zahlen sind. Die Permutation alleine garantiert dann schon, dass alle f(x,y) verschieden sind.

Der schwierigste Fall finde ich nur noch n = 3, denn hier muss man die Permutationen genauer betrachten, wofür ich im Moment zu wenig Lust habe.

[noRkia]

uppsi....ich meinte 3

und die ungeraden zykel sind die 2er,also 3 stück.

ist son gruppenwirkungsding aus ner klausur.
und das ist die unteraufgabe wo man die bahnen suchen soll.
zb. hat stab((x,x,y)) aber mächtigkeit 2 also muss es eine bahn der länge 3 geben ;/

[Brauni90]

@noRkia: Du meinst wohl e) und f) werden zusätzlich negiert.

@TheBiber: Da stimme ich dir zu, dass der Versuch eine Lösung für n = 3 zu finden, etwas problematisch werden könnte.


a) 123 d) 312
b) 213 e) 132
c) 231 f) 321

Dann mal sehen (ich beziehe mich auf Zahlen aus R): Da die Permutationen e) und f) nur gleich sind, wenn a, b und c identisch sind und somit n entweder 1 oder 2 ist (siehe TheBibers Post), dürfen die genannten Permutationen nicht gleich sein. Daraus folgt, dass a), b), c) und d) genau zwei verschiedene Permutationen darstellen sollten, damit n = 3 ist. a, b und c tauchen an jeder Position auf, folglich bestehen mindestens drei weitere verschiedene Permutationen, wodurch n != 3 ist.

[noRkia]

keine ahnung was du versuchst zu schreiben betrachte einfach alle elemente aus der symmetrischen gruppe S3,die 3!= 6 elemente hat.
in dieser gibt es 3,2er zykel,also transpositionen die das signum -1 haben.
sonst gibt es noch 2,er zykel und natürlich das neutral element.
diese anderen haben das signum 1.

[Brauni90]

Hm, das sollte eigentlich so eine Art Antwort für n = 3 sein ...

Mir ist die Formulierung schon klar, nur bin ich gerade durch deinen Post etwas verwirrt. Kann gut sein, dass ich momentan zu müde bin *gähn*